Question

如图1，在正方形ABCD中，点E为BC上一点，连接DE，把△DEC沿DE折叠得到△DEF，延长EF交AB于G，连接DG．
(1) 求证：∠EDG=45°．
(2)如图2，E为BC的中点，连接BF．
①求证：BF∥DE；
②若正方形边长为6，求线段AG的长．
(3) 当BE︰EC=         时，DE=DG．

Answer 1

（1）证明见解析；（2）证明见解析，2；（3）.

试题分析：（1）易证△DGA≌△DGF，知∠3＝∠4，由折叠得∠1＝∠2，所以∠EDG=∠3+∠2=(∠ADF+∠FDC)= 45°；
（2）如图2由折叠易知∠5＝∠6，再由三角形的外角知∠5＝∠DEC，得证BF∥DE；由勾股定理可求AG的长；
（3）.
试题解析：（1）证明：如图：

∵四边形ABCD是正方形，
∴DC=DA．∠A=∠B=∠C=∠ADC = 90°．
∵△DEC沿DE折叠得到△DEF，
∴∠DFE=∠C，DC=DF，∠1＝∠2，
∴∠DFG=∠A，DA=DF，
又∵DG=DG，
∴△DGA≌△DGF，
∴∠3＝∠4，
∴∠EDG=∠3+∠2=(∠ADF+∠FDC)= 45°．
(2)①证明：∵△DEC沿DE折叠得到△DEF，E为BC的中点
∴CE=EF=BE，∠DEF=∠DEC．
∴∠5＝∠6，
∵∠FEC=∠5+∠6，∴∠DEF+∠DEC=∠5+∠6
∴2∠5＝2∠DEC，即∠5＝∠DEC 
∴BF∥DE．
②解：设AG=x，则GF=x，BG=6－x，
由正方形边长为6，得CE=EF=BE=3，
∴GE=EF+GF=3+x．
在Rt△GBE中，根据勾股定理得：
 
解得x=2，即线段AG的长为2．

(3) .