题目内容
如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，D是AB延长线上一点，AE⊥DC交DC的延长线于点E，且AC平分∠EAB．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若AB=6，AE=
，求BD和BC的长．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若AB=6，AE=
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（1）证明：连接OC；
∵AC平分∠EAB，
∴∠EAC=∠BAC；
又在圆中OA=OC，
∴∠AC0=∠BAC，
∴∠EAC=∠ACO，
∴OC∥AE（内错角相等，两直线平行）；
则由AE⊥DC知OC⊥DC，
即DC是⊙O的切线．
（2）∵∠D=∠D，∠E=∠OCD=90°，
∴△DCO∽△DEA，
∴
=
，
∴
=
，
∴
=
，
∴BD=2；
∵Rt△EAC∽Rt△CAB，
∴
=
，
∴
=
∴AC2=
，
由勾股定理得：
BC=
．
∵AC平分∠EAB，
∴∠EAC=∠BAC；
又在圆中OA=OC，
∴∠AC0=∠BAC，
∴∠EAC=∠ACO，
∴OC∥AE（内错角相等，两直线平行）；
则由AE⊥DC知OC⊥DC，
即DC是⊙O的切线．
（2）∵∠D=∠D，∠E=∠OCD=90°，
∴△DCO∽△DEA，
∴
| DO |
| AD |
| CO |
| AE |
∴
| DB+BO |
| AB+BD |
| CO |
| AE |
∴
| DB+3 |
| 6+BD |
| 3 | ||
|
∴BD=2；
∵Rt△EAC∽Rt△CAB，
∴
| EA |
| AC |
| AC |
| AB |
∴
| ||
| AC |
| AC |
| 6 |
∴AC2=
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由勾股定理得：
BC=
6
| ||
| 5 |
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