Question

在如图所示的平面直角坐标系中，已知点A（2，4），B（4，2）．
（1）在平面直角坐标系中，我们把横坐标、纵坐标都为整数的点称为整数点，请在第一象限内求作一个整数点C，使得AC=BC，且AC的长为小于4的无理数，则C点的坐标是______，△ABC的面积是______；
（2）试求出△ABC外接圆的半径．

Answer 1

（1）作AB的垂直平分线，从图形中可以看出C点的坐标是C₁（1，1），C₂（5，5）
过A作AH⊥Y轴于H，过B作BM⊥Y轴于M，BF⊥X轴于F，过C作CG⊥Y轴于G，CE⊥X轴于E，
当C₁（1，1）时，S_△ABC=S_梯形AHMB+S_矩形BMOF-S_梯形AHGC-S_{正方形OGCE}-S_梯形CEFB，
=

1

2

×（2+4）×2+4×2-

1

2

×（1+2）×（4-1）-1×1-

1

2

×（1+2）×（4-1），
=4；
当C₂（5，5）时，同法可求S_△ABC=4；
故答案为：（1，1）和（5，5），4．

（2）如图，在△ABC中，作CD⊥AB于D，连接AE，E为圆心，
∵由勾股定理得：AC=BC=

10

，AB=2

2

，
∴CD=2

2

，
设半径AE=CE=x，则x²=（

2

）²+（2

2

-x）²，
∴半径x=

5

4

2

．
答：△ABC外接圆的半径是

5

4

2

．