Question

【题目】己知：如图，在菱形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD，∠BAF=∠DAE，AE与BD交于点G．

（1）求证：BE=DF；

（2）若，求证：四边形BEFG是平行四边形．

Answer 1

【答案】见解析

【解析】（1）证得△ABE与△AFD全等后即可证得结论；

（2））利用=得到，从而根据平行线分线段成比例定理证得FG∥BC，进而得到∠DGF=∠DBC=∠BDC，最后证得BE=GF，利用一组对边平行且相等即可判定平行四边形．

（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AB=AD，∠ABC=∠ADF．

∵∠BAF=∠DAE，∴∠BAF﹣∠EAF=∠DAE﹣∠EAF，即：∠BAE=∠DAF，

∴△BAE≌△DAF，

∴BE=DF；

（2）∵四边形ABCD是菱形，

∴AD∥BC，∴△ADG∽△EBG，

∴=．

又∵BE=DF，=，

∴==，

∴，又∠BDC=∠GDF，

∴△BDC∽△GDF，∴∠DBC=∠DGF，

∴GF∥BC，

∴∠DGF=∠DBC．

∵BC=CD，

∴∠BDC=∠DBC=∠DGF，

∴GF=DF=BE，

∵GF∥BC，GF=BE，

∴四边形BEFG是平行四边形．