Question

在直角坐标平面中，O为坐标原点，二次函数y=-x²-（k-1）x+2的图象与y轴交与点A，与x轴的负半轴交于点B，且S_△OAB=3．
（1）求点A与点B的坐标；
（2）求此二次函数的解析式；
（3）如果点P在x轴上，且△ABP是等腰三角形，请直接写出P点的坐标．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）令x=0，即可求得点A的坐标，由△AOB的面积公式可求得OB的长，进而得到点B的坐标；
（2）把点B的坐标代入抛物线的解析式，可求得k的值，确定出抛物线解析式；
（3）若△ABP是等腰三角形，且点P在x轴上，故点P的位置有三种情况，由等腰三角形的性质分别求得即可

解答：解：（1）由解析式可知，点A的坐标为（0，2）．
∵S_△OAB=

1

2

×BO×2=3，
∴BO=3．
∴B（3，0）或（-3，0），
∵二次函数与x轴的负半轴交于点B，
∴点B的坐标为（-3，0）；
综上所述，点A与点B的坐标分别是：（0，2），（-3，0）；

（2）把点B的坐标（-3，0）代入y=-x²-（k-1）x+2，
得-（-3）²-（k-1）×（-3）+2=0．
解得k-1=

7

3

．
∴所求二次函数的解析式为y=-x²-

7

3

x+2；

（3）当△ABP是等腰三角形时，需分类讨论：

①如图1，当AB=AP时，点P的坐标为（3，0）；
②如图2，当AB=BP时，点P的坐标为（

13

-3，0）或（-

13

+3，0）；
③如图3，当AP=BP时，设点P的坐标为（x，0）根据题意，得

x2+22

=|x+3|．
解得x=-

5

6

．
∴点P的坐标为（-

5

6

，0）（10分）
综上所述，点P的坐标为（3，0），（

13

-3，0），（-

13

-3，0），（-

5

6

，0）．

点评：本题考查了抛物线与坐标轴的关系，等腰三角形的性质，注意当△ABP是等腰三角形时，点P的位置有三种情况．