Question

如图已知点A（-2，-4），B（2，0），抛物线y=ax²+bx+c过点A、O、B三点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若点M是抛物线对称轴上的一点，试求MO+MA的最小值，并求点M坐标；
（3）在此抛物线上，是否存在一点P，使得以点P与点O、A、B为顶点的四边形是梯形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）将点A、B、O三点的坐标代入到二次函数的一般形式中求解即可；
（2）如答图1所示，连接AC，则AC与对称轴的交点即为所求之M点；已知点A、C的坐标，利用待定系数法求出直线AC的解析式，进而求出点M的坐标；
（3）根据梯形定义确定点P，分OB∥AP、OA∥BP和AB∥OP三种情况理由图形的定义求得点P的坐标即可

解答：解：（1）∵抛物线y=ax²+bx+c过点A（-2，-4），B（2，0）、O（0，0）三点，
∴

4a-2b+c=-4 4a+2b+c=0 c=0

解得：a=-

1

2

，b=1，c=0，
∴抛物线的函数表达式为 y=-

1

2

x2+x（4分）

（2）由B（2，0），C（0，0），且对称轴为x=1，
可知点B、C是关于对称轴x=1的对称点．
如答图1所示，连接AC，交对称轴x=1于点M，连接MB，
则MA+MB=MA+MC=AC，根据两点之间线段最短可知此时MA+MB的值最小．
设直线AB的解析式为y=kx+b，
∵A（-2，-4），B（2，0），
∴

-2k+b=-2 2k+b=0

，解得k=1，b=-2，
∴直线AC的解析式为：y=x-2，
令x=1，得y=-1，
∴M点坐标为（1，-1）．
MO+MA的最小值为4

2

．M（1，-1）；

（3）
①若OB∥AP，点A与点P关于直线x=1对称，由A（-2，-4），得P（4，-4），则得梯形OAPB．

②若OA∥BP，设直线OA的表达式为y=kx，由A（-2，-4）得，y=2x．
设直线PB的表达式为y=2x+m，由B（2，0）得，0=4+m，即m=-4．
∴直线BP的表达式为y=2x-4
由

y=2x-4 y=- 1 2 x2+x

，
则x²+2x-8=0，
解得x=2（不合题意，舍去）或x=4
当x=-4时，y=-12．
∴点P（-4，-12）．则得梯形OAPB．
③若AB∥OP，设直线AB的表达式为y=kx+m，
则

-4=-2k+m 0=2k+m

，解得

k=1 m=-2

．
∴AB的表达式为y=x-2
∴直线OP的表达式为y=x．
由

y=x y=- 1 2 x2+x

，
得x²=0，即x=0（不合题意，舍去），此时点P不存在．
综上所述，存在两点P（4，-4）或 P（-4，-12）使得以点 P与点O、A、B为顶点的四边形是梯形．

点评：本题综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法求函数（二次函数和一次函数）的解析式、轴对称-最短路线问题以及梯形的定义与应用等知识点，属于代数几何综合题，有一定的难度．第（3）问为存在型问题，注意P点不止一个，此处为易错点．