Question

【题目】如图，抛物线y=ax2+3x交x轴正半轴于点A（6，0），顶点为M，对称轴MB交x轴于点B，过点C（2，0）作射线CD交MB于点D（D在x轴上方），OE∥CD交MB于点E，EF∥x轴交CD于点F，作直线MF．

（1）求a的值及M的坐标；
（2）当BD为何值时，点F恰好落在该抛物线上？
（3）当∠DCB=45°时：
①求直线MF的解析式；
②延长OE交FM于点G，四边形DEGF和四边形OEDC的面积分别记为S1、S2 ， 则S1：S2的值为（直接写答案）

Answer 1

【答案】
（1）解：把A（6，0）代入y=ax2+3x得36a+18=0，解得a=﹣ ；

抛物线解析式为y=﹣ x2+3x，

∵y=﹣ （x﹣3）2+ ，

∴M点的坐标为（3， ）

（2）解：∵CF∥OE，EF∥OC，

∴四边形OCFE为平行四边形，

∴EF=OC=2，

∵抛物线的对称轴为直线x=3，B（3，0），

∴F点的横坐标为5，

当x=5时，y=﹣ x2+3x= ，即F（5， ），

∴BE= ，

∵EF∥BC，

∴△BCD∽△EFD，

∴ = = ，

∴BD= BE= × = ，

即当BD为 时，点F恰好落在该抛物线上

（3）∵CD∥OE,∴∠BOE=∠DCB=45°∴△BOE为等腰直角三角形, ∴BE=OE=3,则E（3,3）,∴直线OE的解析式为y=x,同理可得△BCD为等腰直角三角形,∴BD=BC=1,∴DE=2,∵EF∥OC,EF=OC=2,∴F（5,3）,设直线MF的解析式为y=kx+b,把M（3, ）,F（5,3）代入得 ,解得 ,∴直线MF的解析式为y=﹣ x+ ；,
【解析】解：（3）②解方程组 得 ，则G（ ， ），

∴S1=S△GEF+S△DEF= ×2×（ ﹣3）+ ×2×2= ，

S2=S△BOE﹣S△BCD= ×3×3﹣ ×1×1=4，

∴ = = ．

所以答案是 ．

【考点精析】本题主要考查了确定一次函数的表达式和二次函数的最值的相关知识点，需要掌握确定一个一次函数，需要确定一次函数定义式y=kx+b（k不等于0）中的常数k和b．解这类问题的一般方法是待定系数法；如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当x=-b/2a时，y最值=(4ac-b2)/4a才能正确解答此题．