Question

如图，△ABC中，，，，D是线段BC上的一个动点（包括点B,C），以AD为直径画⊙O分别交AB，AC于点E，F，连接EF，则过点E，D，F三点的弓形的面积S的取值范围是__________．

Answer 1

．

试题分析：由垂线段的性质可知，当AD为△ABC的边BC上的高时，直径AD最短，阴影部分面积最小，
如图，连接OE，OF，过O点作OH⊥EF，垂足为H，

∵在Rt△ADB中，∠ABC=45°，AB=4
∴AD=BD=4，即此时圆的直径为4，
由圆周角定理可知∠EOF=120°，∠EOH=∠EOF=∠BAC=60°，
∴在Rt△EOH中，EH=OE•sin∠EOH=2×=，
由垂径定理可知EF=2EH=2，
阴影部分面积为：；
当点D和点B重合时，直径AD最长，阴影部分面积最大，如下图：

此时：∠BOF=120°，BO=2，OH=，BF=2，
阴影部分面积为：，
综上可得：弓形的面积S的取值范围是．
故答案是．