Question

【题目】在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=mcosθ（m＞0），过点P（﹣2，﹣4）且倾斜角为 的直线l与曲线C相交于A，B两点．
（1）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；
（2）若|AP||BP|=|BA|2 ， 求m的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=mcosθ（m＞0），即ρ2sin2θ=mρcosθ（m＞0），可得直角坐标方程：

y2=mx（m＞0）．

过点P（﹣2，﹣4）且倾斜角为 的直线l参数方程为： （t为参数）．

消去参数化为普通方程：y=x﹣2．

（2）把直线l的方程代入曲线C的方程为：t2﹣ （m+8）t+4（m+8）=0．

则t1+t2= （m+8），t1t2=4（m+8）．

∵|AP||BP|=|BA|2，∴|t1t2|= ，化为：5t1t2= ，

∴20（m+8）=2（m+8）2，m＞0，解得m=2．

【解析】（1）曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=mcosθ（m＞0），即ρ2sin2θ=mρcosθ（m＞0），利用互化公式可得直角坐标方程．过点P（﹣2，﹣4）且倾斜角为 的直线l参数方程为： （t为参数）．相减消去参数化为普通方程．（2）把直线l的方程代入曲线C的方程为：t2﹣ （m+8）t+4（m+8）=0．由于|AP||BP|=|BA|2 ， 可得|t1t2|= ，化为：5t1t2= ，利用根与系数的关系即可得出．