Question

【题目】如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，在斜边AB上取一点D，过点D作DE//BC，交AC于点E．现将△ADE绕点A旋转一定角度到如图2所示的位置（点D在△ABC的内部），使得∠ABD+∠ACD=90°．

（1）①求证：△ABD∽△ACE；
②若CD=1，BD= ，求AD的长；
（2）如图3，将原题中的条件“AC=BC”去掉，其它条件
不变，设 ，若CD=1，BD=2，AD=3，求k的值；

（3）如图4，将原题中的条件“∠ACB=90°”去掉，其它条件不变，若 ，设CD=m ， BD=n ， AD=p ， 试探究m ， n ， p三者之间满足的等量关系．（直接写出结果，不必写出解答过程）

Answer 1

【答案】
（1）

解：①如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，

∴∠A=∠B=45°，=，

∵DE//BC,

所以∠D=∠B=45°，∠AED=∠ACB=90°,=，

如图2，∵∠DAE=∠BAC=45°，

∴∠CAE=∠BAD，

又∵==，

∴△ABD∽△ACE.

②由①得△ABD∽△ACE，

∴,∠ABD=∠ACE，

∴CE=BD=.

∵∠ABD+∠ACD=90°,∠ABD=∠ACE，

∴∠ACE+∠ACD=90°，

∴∠DCE=90°，

则DE=，

则AD=DE=2.

（2）

解：与（1）同理可证△ABD∽△ACE，∠DCE=90°，

∴，CE=2k，AE=3k，

则AD2-AE2=CE2+CD2，

即9-9k2=4k2+1，

解得k=.

（3）

解：由（2）得=，

则CE=n，AE=p，

则DE2=CE2+CD2=+m2，

因为DE//BC，所以△ADE∽△ABC，

则，

因为AC=BC，

所以AE=DE，

即=+m2，

则9p2=9n2+25m2.

【解析】（1）①由“两对应边成比例，且对应边的夹角相等，则这两个三角形相似”，即要证明==，∠CAE=∠BAD；
②由△ABD∽△ACE，得，可求得CE，由∠ABD+∠ACD=90°,∠ABD=∠ACE，可得△CDE是直角三角形，从而求得DE，即而得到AＤ；
（２）与（1）同理可证△ABD∽△ACE，∠DCE=90°，，这样可分别求得CE，AE，则由勾股定理得DE2=AD2-AE2=CE2+CD2 ， 可求得k的值；
（３）方法同（1）分别求得CE，AE，由勾股定理可求得DE，由AE=DE化简可得.