题目内容

【题目】在直角坐标系xoy中,曲线C的参数方程为 (t为参数,a>0)以坐标原点O为极点,以x轴正半轴为极轴,建立极坐标系,已知直线l的极坐标方程为 . (Ⅰ)设P是曲线C上的一个动点,当a=2时,求点P到直线l的距离的最小值;
(Ⅱ)若曲线C上的所有点均在直线l的右下方,求a的取值范围.

【答案】解:(Ⅰ)由 ,得 , 化成直角坐标方程,得 ,即直线l的方程为x﹣y+4=0.
依题意,设P(2cost,2sint),则P到直线l的距离
,即 时,
故点P到直线l的距离的最小值为
(Ⅱ)∵曲线C上的所有点均在直线l的右下方,∴对t∈R,有acost﹣2sint+4>0恒成立,
(其中 )恒成立,∴ ,又a>0,解得
故a的取值范围为
【解析】(Ⅰ)求出直线的普通方程,设P(2cost,2sint),则P到直线l的距离 ,即可求点P到直线l的距离的最小值;(Ⅱ)若曲线C上的所有点均在直线l的右下方,则对t∈R,有acost﹣2sint+4>0恒成立,即 (其中 )恒成立,即可求a的取值范围.

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