题目内容
【题目】探究与发现:如图1所示的图形,像我们常见的学习用品—圆规.我们不妨把这样图形叫做“规形图”.
(1)观察“规形图”,试探究与
、
、
之间的关系,并说明理由;
(2)请你直接利用以上结论,解决以下三个问题:
①如图2,把一块三角尺放置在
上,使三角尺的两条直角边
、
恰好经过点
、
,
,则
________________;
②如图3,平分
,
平分
,若
,
,求
的度数;
③如图4,,
的
等分线相交于点
,
,
,
,若
,
,求
的度数.
【答案】(1)∠BDC=∠A+∠B+∠C;详见解析(2)①50°②85°③50°
【解析】
(1)首先连接AD并延长,然后根据外角的性质,即可判断出∠BDC=∠A+∠B+∠C.
(2)①由(1)可得∠ABX+∠ACX+∠A=∠BXC,然后根据∠A=40°,∠BXC=90°,即可求出∠ABX+∠ACX的值.
②由(1)可得∠DBE=∠DAE+∠ADB+∠AEB,再根据∠DAE=40°,∠DBE=130°,求出∠ADB+∠AEB的值;然后根据∠DCE=(∠ADB+∠AEB)+∠DAE,即可求出∠DCE的度数.
③设,
结合已知可得
,
,再根据(1)可得
,
,即可判断出∠A的度数.
解:(1)∠BDC=∠A+∠B+∠C,理由如下:
如图(1),连接AD并延长.
图1
根据外角的性质,可得∠BDF=∠BAD+∠B,∠CDF=∠C+∠CAD,
又∵∠BDC=∠BDF+∠CDF,∠BAC=∠BAD+∠CAD,
∴∠BDC=∠A+∠B+∠C;
(2)①由(1)可得∠ABX+∠ACX+∠A=∠BXC,
∵∠A=40°,∠BXC=90°,
∴∠ABX+∠ACX=90°-40°=50°,
故答案为50°;
②由(1)可得∠DBE=∠DAE+∠ADB+∠AEB,
∴∠ADB+∠AEB=∠DBE-∠DAE=130°-40°=90°,
∴(∠ADB+∠AEB)=90°÷2=45°,
∴∠DCE=(∠ADB+∠AEB)+∠DAE
=45°+40°=85°;
③设,
.
则,
,
则,
解得
所以
即的度数为50°.
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