Question

【题目】如图1，AB为半圆O的直径，半径OP⊥AB，过劣弧AP上一点D作DC⊥AB于点C．连接DB，交OP于点E，∠DBA＝22.5°．

⑴ 若OC＝2，则AC的长为　　　　；

⑵ 试写出AC与PE之间的数量关系，并说明理由；

⑶ 连接AD并延长，交OP的延长线于点G，设DC＝x，GP＝y，请求出x与y之间的等量关系式. （请先补全图形，再解答）

Answer 1

【答案】⑴ ；⑵ 见解析；⑶ y=

【解析】

（1）如图，连接OD，则有∠AOD=45°，所以△DOC为等腰直角三角形，又OC=2，所以DO=AO=2,故可求出AC的长；

（2）连接AD，DP，过点D作DF⊥OP，垂足为点F. 证AC=PF或AC=EF ，证DP=DE

证PF=EF=，故可证出PE=2AC ；

（3）首先求出，再求AB=,再证△DGE≌△DBA,得GE=AB=，由PE=2AC得PE=2，再根据GP=GE－PE可求结论.

（1）连接OD，如图，

∵∠B=22.5°，

∴∠DOC=45°,

∵DC⊥AB

∴△DOC为等腰直角三角形，

∵OC=2，

∴OD=2,

∴AO=2，

∴AC=AO-OC=.

⑵ 连接AD，DP，过点D作DF⊥OP，垂足为点F.

∵OP⊥AB,

∴∠POD=∠DOC=45°，

∴AD=PD，

∵△DOC为等腰直角三角形，

∴DC=CO,

易证DF=CO，

∴DC=DF，

∴Rt△DAC≌Rt△DPF,

∴PF=AC,

∵DO=AO,∠DOA=45°

∴∠DAC=67.5°

∴∠DPE=67.5°,

∵OD=OB，∠B=22.5°，

∴∠ODE=22.5°

∴∠DEP=22.5°+45°=67.5°

∴∠DEP=∠DPE

∴PF=EF=

∴PE=2AC

（3）如图2，由∠DCO=90°，∠DOC=45°得

∴ AB=2OD=

∵AB是直径，

∴∠ADB=∠EDG=90°，

由（2）得AD=ED,∠DEG=∠DAC

∴△DGE≌△DBA

∴ GE=AB=

∵ PE=2AC

∴ PE=2

∴ GP=GE－PE=

即：y=