题目内容
【题目】如图，抛物线y＝
x2+
x+4与x轴相交于点A、B与y轴相交于点C，抛物线的对称轴与x轴相交于点M，P是抛物线在x轴下方的一个动点（点P、M、C不在同一条直线上）．分别过点A、B作直线CP的垂线，垂足分别为D、E，连接点MD、ME．
（1）写出点A，B的坐标， 并证明△MDE是等腰三角形；
（2）△MDE能否为等腰直角三角形？若能，求此时点的坐标；若不能，说明理由；
（3）若将“P是抛物线在x轴下方的一个动点（点P、M、C不在同一条直线上）”改为“P是抛物线在x轴上方的一个动点”，其他条件不变，△MDE能否为等腰直角三角形？若能求此时点P的坐标（直接写出结果）；若不能，说明理由．
【答案】（1） A（﹣5，0），B（﹣1，0）；证明见解析；（2）能；（3）（﹣
，
）．
【解析】
（1）在抛物线解析式中，令y＝0，解一元二次方程，可求得点A、点B的坐标；如图1所示，延长EM交AD于点F，证明△AMF≌△BME，得到点M为为Rt△EDF斜边EF的中点，从而得到MD＝ME，问题得证；
（2）首先分析，若△MDE为等腰直角三角形，直角顶点只能是点M．如答图2所示，设直线PC与对称轴交于点N，首先证明△ADM≌△NEM，得到MN＝AM，从而求得点N坐标为（﹣3，﹣2）；其次利用点N、点C坐标，求出直线PC的解析式；最后联立直线PC与抛物线的解析式，求出点P的坐标．
（3）当点P是抛物线在x轴上方的一个动点时，解题思路与（2）完全相同．
解：（1）∵抛物线y＝
x2+
x+4与x轴相交于点A、B两点，
∴令y＝0，
，
解得：x1＝﹣5，x2＝﹣1，
∴A（﹣5，0），B（﹣1，0）．
故答案为：A（﹣5，0），B（﹣1，0）．
如答图1所示，延长EM与AD交于点F．
∵AD⊥PC，BE⊥PC，
∴AD∥BE，
∴∠MAF＝∠MBE．
在△AMF与△BME中，
，
∴△AMF≌△BME（ASA），
∴ME＝MF，即点M为Rt△EDF斜边EF的中点，
∴MD＝ME，
即△MDE是等腰三角形．
（2）答：能．
抛物线解析式为：
＝
，
∴对称轴是直线x＝﹣3，M（﹣3，0）；
令x＝0，得y＝4，
∴C（0，4）．
△MDE为等腰直角三角形，有3种可能的情形：
①若DE⊥EM，
由DE⊥BE，可知点E、M、B在一条直线上，
而点B、M在x轴上，因此点E必然在x轴上，
由DE⊥BE，可知点E只能与点O重合，即直线PC与y轴重合，
不符合题意，故此种情况不存在；
②若DE⊥DM，与①同理可知，此种情况不存在；
③若EM⊥DM，如答图2所示：
设直线PC与对称轴交于点N，
∵EM⊥DM，MN⊥AM，
∴∠EMN＝∠DMA．
在△ADM与△NEM中，
∴△ADM≌△NEM（ASA），
∴MN＝MA．
∵M（﹣3，0），MN＝MA＝2，
∴N（﹣3，﹣2）．
设直线PC解析式为y＝kx+b，
∵点N（﹣3，﹣2），C（0，4）在直线上，
∴
，解得k＝2，b＝4，
∴y＝2x+4．
将y＝2x+4代入抛物线解析式得：
，
解得：x＝0或
，
当x＝0时，交点为点C；
当时，y＝2x+4＝﹣3．
∴P（
，﹣3）．
综上所述，△MDE能成为等腰直角三角形，此时点P坐标为（
，3）．
（3）答：能．
与（2）同理，可知若△MDE为等腰直角三角形，直角顶点只能是点M．
∵MD⊥ME，MA⊥MN，
∴∠DMN＝∠EMB．
在△DMN与△EMB中，
，
∴△DMN≌△EMB（ASA），
∴MN＝MB．
∴N（﹣3，2）．
设直线PC解析式为y＝kx+b，
∵点N（﹣3，2），C（0，4）在直线上，
∴
，解得k＝
，b＝﹣4，
∴y＝x+4．
将y＝x+4代入抛物线解析式得：x+4＝x2+x+4，
解得：x＝0或x＝﹣，
当x＝0时，交点为点C；当x＝﹣时，y＝x+4＝．
∴P（﹣，）．
综上所述，△MDE能成为等腰直角三角形，此时点P坐标为（﹣，）．
