题目内容
【题目】如图1,正方形ABCD的边长为8,⊙O经过点C和点D,且与AB相切于点E.
(1)求⊙O的半径;
(2)如图2,平移⊙O,使点O落在BD上,⊙O经过点D,BC与⊙O交于M,N,求MN2的值.
【答案】(1)5(2)160﹣206
【解析】
试题分析:(1)如图1中,连接EO,延长EO交CD于F,连接DO,设半径为x.构建方程即可解决问题.
(2)如图2中,作OP⊥BC于P,连接ON,则OD=ON=5,在Rt△OPN中,求出PN2即可解决问题.
试题解析:(1)连接EO,延长EO交CD于F,连接DO,设半径为x.
∵AB切○O于E,
∴EF⊥AB,
∵AB∥CD,
∴EF⊥CD,
∴∠OFD=90°,
在Rt△DOF中,∵∠OFD=90°,OF2+DF2=OD2,
∴x2=(8﹣x)2+42,
∴x=5,
∴⊙O的半径为5.
(2)如图2中,作OP⊥BC于P,连接ON,则OD=ON=5,
∵四边形ABCD是正方形,
∴BD=8,OB=BD﹣OD=8﹣5,OP==8﹣,
∴PN2=ON2﹣OP2=52﹣(8﹣)2=40﹣51.5,
∵MN=2PN,
∴MN2=4PN2=4(40﹣51.5)=160﹣206.
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