Question

如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-

1

4

x2-2x的顶点为A，与x轴交于O，B两点，点P（m，0）是线段OB上一动点，过点P作y轴的平行线，交直线y=-

1

4

x于点E，交抛物线于点F，以EF为一边，在EF的左侧作矩形EFGH．若FG=

3

2

，则当矩形EFGH与△OAB重叠部分为轴对称图形时，m的取值范围为

 

．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：压轴题

分析：把抛物线整理成顶点式形式并求出顶点A的坐标，令y=0，解方程求出点B的坐标，利用待定系数法求出直线AB的解析式，然后判断出△AOB是等腰直角三角形，再分①矩形EFGH为正方形时，根据抛物线和直线解析式表示出EF，再根据EF=FG列出方程求解即可；②矩形EFGH关于抛物线对称轴对称时，根据轴对称的性质，对称轴向有

1

2

FG即为点P的横坐标；③点H在AB上时，设直线y=-

1

4

x与直线AB相交于点C，联立两直线解析式求出点C的坐标，然后求出点H在直线AB上时，求出△CHE和△CBO相似，利用相似三角形对应边成比例求出

CE

CO

，然后求出

OE

OC

，过点C作CD⊥x轴于D，求出△OEP和△OCD相似，利用相似三角形对应边成比例列式求出PE，从而得到点E的纵坐标，再代入直线解析式求出点E的横坐标，即为点P的横坐标，从此位置到点E与点C重合，重叠部分为等腰直角三角形，是轴对称图形．

解答：解：∵y=-

1

4

x²-2x=-

1

4

（x+4）²+4，
∴顶点A的坐标为（-4，4），
令y=0，则-

1

4

x²-2x=0，
整理得，x²+8x=0，
解得x₁=0，x₂=-8，
∴点B的坐标为（-8，0），
设直线AB的解析式为y=kx+b（k≠0），
则

-4k+b=4 -8k+b=0

，
解得

k=1 b=8

，
∴直线AB的解析式为y=x+8，
∴∠ABO=45°，
由抛物线的对称性得，△AOB是等腰直角三角形，
①矩形EFGH为正方形时，EF=FG，
∴（-

1

4

m²-2m）-（-

1

4

m）=

3

2

，
整理得，m²+7m+6=0，
解得m₁=-1，m₂=-6；
②矩形EFGH关于抛物线对称轴对称时，
点P的横坐标m=-4+

1

2

FG=-4+

1

2

×

3

2

=-4+

3

4

=-

13

4

；
③如图，点H在AB上时，设直线y=-

1

4

x与直线AB相交于点C，
联立

y=x+8 y=- 1 4 x

解得

x=- 32 5 y= 8 5

，
∴点C的坐标为（-

32

5

，

8

5

），
∵PE∥y轴，四边形EFGH为矩形，
∴EH∥x轴，
∴△CHE∽△CBO，
∴

CE

OC

=

EH

OB

=

3 2

8

=

3

16

，
∴

OE

OC

=

13

16

，
过点C作CD⊥x轴于D，则CD∥PE，
∴△OEP∽△OCD，
∴

PE

CD

=

OE

OC

，
即

PE

8 5

=

13

16

，
解得PE=

13

10

，
∴点E的纵坐标为

13

10

，
代入y=-

1

4

x得，-

1

4

x=

13

10

，
解得x=-

26

5

，
∴点P的横坐标m=-

26

5

，
∴从此位置到点E与点C重合，重叠部分为等腰直角三角形，
∴-

32

5

＜m≤-

26

5

；
综上所述，矩形EFGH与△OAB重叠部分为轴对称图形时，m的取值范围是：m=-1或-6或-

13

4

或-

32

5

＜m≤-

26

5

．
故答案为：m=-1或-

13

4

或-

32

5

＜m≤-

26

5

．

点评：本题是二次函数综合题型，主要利用了待定系数法求一次函数解析式，矩形的性质，轴对称的性质，等腰直角三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，难点在于要根据矩形EFGH的位置分情况讨论．