Question

已知抛物线y=ax²+bx+c（a＞0）的图象经过点B（14，0）和C（0，-8），对称轴为x=4．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）点D在线段AB上且AD=AC，若动点P从A出发沿线段AB以每秒1个单位长度的速度匀速运动，同时另一动点Q以某一速度从C出发沿线段CB匀速运动，问是否存在某一时刻，使线段PQ被直线CD垂直平分？若存在，请求出此时的时间t（秒）和点Q的运动速度；若不存在，请说明理由；
（3）在（2）的结论下，直线x=1上是否存在点M使△MPQ为等腰三角形？若存在，请求出所有点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）∵抛物线过C（0，-8），
∴c=-8，即y=ax²+bx-8，
由函数经过点（14，0）及对称轴为x=4可得

- b 2a =4 196a+14b-8=0

，
解得：

a= 2 21 b=- 16 21

，
∴该抛物线的解析式为y=

2

21

x²-

16

21

x-8．
（2）

存在直线CD垂直平分PQ．
由函数解析式为y=

2

21

x²-

16

21

x-8，可求出点A坐标为（-6，0），
在Rt△AOC中，AC=

AO2+OC2

=

100

=10=AD，
故可得OD=AD-OA=4，点D在函数的对称轴上，
∵线CD垂直平分PQ，
∴∠PDC=∠QDC，PD=DQ，
由AD=AC可得，∠PDC=∠ACD，
∴∠QDC=∠ACD，
∴DQ∥AC，
又∵DB=AB-AD=20-10=10=AD，
∴点D是AB中点，
∴DQ为△ABC的中位线，
∴DQ=

1

2

AC=5，
∴AP=AD-PD=AD-DQ=10-5=5，
∴t=5÷1=5（秒），
∴存在t=5（秒）时，线段PQ被直线CD垂直平分．
在Rt△BOC中，BC=

OC2+OB2

=

82+142

=2

65

，
而DQ为△ABC的中位线，Q是BC中点，
∴CQ=

65

，
∴点Q的运动速度为每秒

65

5

单位长度；
（3）存在，过点Q作QH⊥x轴于H，则QH=

1

2

OC=4，PH=OP+OH=1+7=8，

在Rt△PQH中，PQ=

42+82

=

80

=4

5

，
①当MP=MQ，即M为顶点，则此时CD与PQ的交点即是M点（上面已经证明CD垂直平分PQ），
设直线CD的直线方程为：y=kx+b（k≠0），
因为点C（0，-8），点D（4，0），
所以可得直线CD的解析式为：y=2x-8，
当x=1时，y=-6，
∴M₁（1，-6）；
②当PQ为等腰△MPQ的腰时，且P为顶点．
设直线x=1上存在点M（1，y），因为点P坐标为（-1，0），
从而可得PM²=2²+y²，
又PQ²=80，
则2²+y²=80，
即y=±

76

，
∴M₂（1，2

19

），M₃（1，-2

19

）；
③当PQ为等腰△MPQ的腰时，且Q为顶点，点Q坐标为（7，-4），
设直线x=1存在点M（1，y），
则QM²=6²+（y+4）²=80，
解得：y=2

11

-4或-2

11

-4；
∴M₄（1，-4+2

11

），M₅（1，-4-2

11

）；
综上所述：存在这样的五点：
M₁（1，-6），M₂（1，2

19

），M₃（1，-2

19

）M₄（1，-4+2

11

），M₅（1，-4-2

11

）．