Question

6．如图，已知△ABC是⊙O内接三角形，过点B作BD⊥AC于点D，连接AO并延长交⊙O于点F，交DB的延长线于点E，且点B是$\widehat{CF}$的中点．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为8，点O、F为线段AE的三等分点，求线段BD的长度；
（3）判断线段AD、CD、AF的数量关系，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）欲证明DE是切线，只要证明OB⊥DE即可．
（2）由OB∥AD，推出$\frac{OB}{AD}$=$\frac{EO}{EA}$=$\frac{EB}{ED}$=$\frac{2}{3}$，推出AD=12，在Rt△ADE中，AD=12，AE=24，推出DE=$\sqrt{A{E}^{2}-A{D}^{2}}$=$\sqrt{2{4}^{2}-1{2}^{2}}$=12$\sqrt{3}$，由DB=$\frac{1}{3}$DE，即可解决问题．
（3）如图2中，结论：AF=AD+CD．连接BF，作BH⊥AE于E，只要证明△BAD≌△BAH，推出AD=AH，BD=BH，再证明△BCD≌△BFH，'推出CD=HF即可．

解答 （1）证明：如图1中，连接OB．
∵AD⊥BD，
∴∠ADB=90°，
∴∠DAB+∠ABD=90°，
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA，
∵点B是$\widehat{CF}$的中点，
∴∠DAB=∠BAF=∠ABO，
∴∠ABO+∠ABD=90°，
∴∠OBD=90°，
∴OB⊥DE，
∴DE是⊙O的切线．

（2）∵AD⊥DE，OB⊥DE，
∴OB∥AD，
∴$\frac{OB}{AD}$=$\frac{EO}{EA}$=$\frac{EB}{ED}$=$\frac{2}{3}$，
∴AD=12，
在Rt△ADE中，∵AD=12，AE=24，
∴DE=$\sqrt{A{E}^{2}-A{D}^{2}}$=$\sqrt{2{4}^{2}-1{2}^{2}}$=12$\sqrt{3}$，
∴DB=$\frac{1}{3}$DE=4$\sqrt{3}$，

（3）如图2中，结论：AF=AD+CD．
理由：连接BF，作BH⊥AE于E．
在△BAD和△BAH中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAD=∠BAH}\\{∠D=∠AHB=90°}\\{BA=BA}\end{array}\right.$，
∴△BAD≌△BAH，
∴AD=AH，BD=BH，
∵∠BCD+∠ACB=180°，∠ACB+∠BFH=180°，
∴∠BCD=∠BFH，
在△BCD和△BFH中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BCD=∠BFH}\\{∠D=∠BHF=90°}\\{BD=BH}\end{array}\right.$，
∴△BCD≌△BFH，'
∴CD=HF，
∴AF=AH+HF=AD+CD．

点评 本题考查切线的判定，弧、圆心角、弦之间的关系，三角形的外接圆与外心、全等三角形的判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．