Question

如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3，BC=7，∠B=60°，P为BC边上一点（不与B，C重合），过点P作∠APE=∠B，PE交CD于E．
（1）求证：△APB∽△PEC；
（2）若CE=3，求BP的长．

Answer 1

（1）证明：∵等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，
∴∠B=∠C=60°，
∵∠APC=∠B+∠BAP，
即∠APE+∠EPC=∠B+∠BAP，
∵∠APE=∠B，
∴∠BAP=∠EPC，
∴△APB∽△PEC；

（2）过点A作AF∥CD交BC于点F，
∵AD∥BC，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵∠AFB=∠C=∠B=60°，
∴△ABF为等边三角形，
∴CF=AD=3，AB=BF=7-3=4，
∵△APB∽△PEC，
∴

BP

EC

=

AB

PC

，
设BP=x，则PC=7-x，
∵EC=3，AB=4，
∴

x

3

=

4

7-x

，
解得：x₁=3，x₂=4，
经检验：x₁=3，x₂=4是原分式方程的解，
∴BP的长为：3或4．