题目内容
【题目】如图,AE∥CF,∠ACF的平分线交AE于点B,G是CF上的一点,∠GBE的平分线交CF于点D,且BD⊥BC,下列结论:①BC平分∠ABG;②AC∥BG;③与∠DBE互余的角有2个;④若∠A=α,则∠BDF=.其中正确的有_____.(把你认为正确结论的序号都填上)
【答案】①②④.
【解析】
求出∠EBD+∠ABC=90°,∠DBG+∠CBG=90°,求出∠ABC=∠GBC,根据角平分线的定义即可判断①;根据平行线的性质得出∠ABC=∠BCG,求出∠ACB=∠GBC,根据平行线的判定即可判断②;根据余角的定义即可判断③;根据平行线的性质得出∠EBG=∠A=α,求出∠EBD=∠EBG=α,根据平行线的性质得出∠EBD+∠BDF=180°,即可判断④.
∵BD⊥BC,
∴∠DBC=90°,
∴∠EBD+∠ABC=180°﹣90°=90°,∠DBG+∠CBG=90°,
∵BD平分∠EBG,
∴∠EBD=∠DBG,
∴∠ABC=∠GBC,
即BC平分∠ABG,故①正确;
∵AE∥CF,
∴∠ABC=∠BCG,
∵CB平分∠ACF,
∴∠ACB=∠BCG,
∵∠ABC=∠GBC,
∴∠ACB=∠GBC,
∴AC∥BG,故②正确;
与∠DBE互余的角有∠ABC,∠CBG,∠ACB,∠BCG,共4个,故③错误;
∵AC∥BG,∠A=α,
∴∠EBG=∠A=α,
∵∠EBD=∠DBG,
∴∠EBD=∠EBG=,
∵AB∥CF,
∴∠EBD+∠BDF=180°,
∴∠BDF=180°﹣∠EBD=180°﹣,故④正确;
故答案为:①②④.
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