Question

【题目】如图，直线l的解析式为y=﹣x+b，它与坐标轴分别交于A、B两点，其中点B坐标为（0，4）．

（1）求出A点的坐标；

（2）在第一象限的角平分线上是否存在点Q使得∠QBA=90°？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

（3）动点C从y轴上的点（0，10）出发，以每秒1cm的速度向负半轴运动，求出点C运动所有的时间t，使得△ABC为轴对称图形（直接写答案即可）

Answer 1

【答案】（1）A（3，0）；（2）存在．Q（16，16）；（3）当C点运动1秒、秒、11秒、14秒时，能使△ABC为轴对称图形．

【解析】

（1）利用点B代入直线，求出直线解析式，然后求直线与x轴交点坐标；

（2）点Q在第一象限角平分线上，设Q（x，x），已知给出了指定角，利用勾股定理列方程，即可求出点Q的标；

（3）求△ABC为轴对称图形，实质是求动点C，使△ABC为等腰三角形，根据等腰三角形性质分类讨论即可求出点的坐标，利用点的坐标求出运动时间．

（1）将点B（0，4）代入直线l的解析式得：

b=4，

∴直线l的解析式为：y=﹣x+4，

令y=0得：x=3，

∴A（3，0）．

（2）存在．

∵Q在第一象限的角平分线上，

设Q（x，x），

根据勾股定理：

QB2+BA2=QA2，

x2+（x﹣4）2+52=x2+（x﹣3）2，

解得x=16，

故Q（16，16）．

（3）能使△ABC为轴对称图形，

则得：△ABC为等腰三角形，

当AB=BC时，

C（0，9）或（0，﹣1），

此时C点运动1秒或11秒，

当AB=AC时，

C（0，﹣4），

此时C点运动14秒，

当AC=BC时，

C（0，），

此时C点运动 秒．

综上所述：当C点运动1秒、秒、11秒、14秒时，能使△ABC为轴对称图形．