题目内容

【题目】如图,在△ABC中,∠ACB=90°,ABC=30°,CDE是等边三角形,点D在边AB上.

(1)如图1,当点E在边BC上时,求证DE=EB;

(2)如图2,当点E在△ABC内部时,猜想EDEB数量关系,并加以证明;

(3)如图3,当点E在△ABC外部时,EHAB于点H,过点EGEAB,交线段AC的延长线于点G,AG=5CG,BH=3.求CG的长.

【答案】(1)证明见解析;(2)ED=EB,证明见解析;(3)CG=2.

【解析】

试题(1)、根据等边三角形的性质得出∠CED=60°,从而得出∠EDB=30°,从而得出DE=BE;(2)、AB的中点O,连接CO、EO,根据△ACO和△CDE为等边三角形,从而得出△ACD和△OCE全等,然后得出△COE和△BOE全等,从而得出答案;(3)、AB的中点O,连接CO、EO、EB,根据题意得出△COE和△BOE全等,然后得出△CEG和△DCO全等,设CG=a,则AG=5a,OD=a,根据题意列出一元一次方程求出a的值得出答案.

试题解析:(1)、证明:∵△CDE是等边三角形, ∴∠CED=60°, ∴∠EDB=60°﹣B=30°,

∴∠EDB=B, DE=EB;

(2)、解:ED=EB, 理由如下:取AB的中点O,连接CO、EO,

∵∠ACB=90°,ABC=30°, ∴∠A=60°,OC=OA, ∴△ACO为等边三角形, CA=CO,

∵△CDE是等边三角形, ∴∠ACD=OCE,∴△ACD≌△OCE, ∴∠COE=A=60°,∴∠BOE=60°, ∴△COE≌△BOE,EC=EB,ED=EB;

(3)、AB的中点O,连接CO、EO、EB, 由(2)得△ACD≌△OCE,

∴∠COE=A=60°,∴∠BOE=60°,COE≌△BOE,EC=EB,ED=EB, EHAB,

DH=BH=3,GEAB, ∴∠G=180°﹣A=120°, ∴△CEG≌△DCO, CG=OD,

CG=a,则AG=5a,OD=a,AC=OC=4a,OC=OB, 4a=a+3+3, 解得,a=2,

CG=2.

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