题目内容
如图，已知在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=11，BC=13，AB=12．动点
P、Q分别在边AD和BC上，且BQ=2DP．线段PQ与BD相交于点E，过点E作EF∥BC，交CD于点F，射线PF交BC的延长线于点G，设DP=x．
（1）求
的值．
（2）当点P运动时，试探究四边形EFGQ的面积是否会发生变化？如果发生变化，请用x的代数式表示四边形EFGQ的面积S；如果不发生变化，请求出这个四边形的面积S．
（3）当△PQG是以线段PQ为腰的等腰三角形时，求x的值．
P、Q分别在边AD和BC上，且BQ=2DP．线段PQ与BD相交于点E，过点E作EF∥BC，交CD于点F，射线PF交BC的延长线于点G，设DP=x．（1）求
| DF |
| CF |
（2）当点P运动时，试探究四边形EFGQ的面积是否会发生变化？如果发生变化，请用x的代数式表示四边形EFGQ的面积S；如果不发生变化，请求出这个四边形的面积S．
（3）当△PQG是以线段PQ为腰的等腰三角形时，求x的值．
（1）在梯形ABCD中，
∵AD∥BC，∴
=
．
∵EF∥BC，∴
=
．
又∵BQ=2DP，∴
=
．
（2）不发生变化．
作EM⊥BC，垂足为点M，
在△BCD中，
∵EF∥BC，
∴
=
=
．
而BC=13，
∴EF=
．
又∵PD∥CG，
∴
=
=
．
∴CG=2PD．
∴CG=BQ，即QG=BC=13．
作DN⊥BC，垂足为点N．
∴
=
=
=
，
而AB=12，
∴可求得EM=8．
∴S=
×(
+13)×8=
．
（3）作PH⊥BC，垂足为点H．
（i）当PQ=PG时，QH=GH=
．
∴2x+
=11-x．
解得x=
．
（ii）当PQ=GQ时，PQ=
=13．
解得x=2或x=
．
综上所述，当△PQG是以PQ为腰的等腰三角形时，x的值为
、2或
．
∵AD∥BC，∴
| DE |
| BE |
| DP |
| BQ |
∵EF∥BC，∴
| DE |
| BE |
| DF |
| CF |
又∵BQ=2DP，∴
| DF |
| CF |
| 1 |
| 2 |
（2）不发生变化．
作EM⊥BC，垂足为点M，在△BCD中，
∵EF∥BC，
∴
| EF |
| BC |
| DE |
| DB |
| 1 |
| 3 |
而BC=13，
∴EF=
| 13 |
| 3 |
又∵PD∥CG，
∴
| PD |
| CG |
| DF |
| CF |
| 1 |
| 2 |
∴CG=2PD．
∴CG=BQ，即QG=BC=13．
作DN⊥BC，垂足为点N．
∴
| EM |
| DN |
| BE |
| BD |
| EM |
| AB |
| 2 |
| 3 |
而AB=12，
∴可求得EM=8．
∴S=
| 1 |
| 2 |
| 13 |
| 3 |
| 208 |
| 3 |
（3）作PH⊥BC，垂足为点H．
（i）当PQ=PG时，QH=GH=
| 13 |
| 2 |
∴2x+
| 13 |
| 2 |
解得x=
| 3 |
| 2 |
（ii）当PQ=GQ时，PQ=
| (11-3x)2+122 |
解得x=2或x=
| 16 |
| 3 |
综上所述，当△PQG是以PQ为腰的等腰三角形时，x的值为
| 3 |
| 2 |
| 16 |
| 3 |
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