Question

在中，，，将一块等腰直角三角板的直角顶点放在斜边的中点处，将三角板绕点旋转，三角板的两直角边分别交射线、于、两点. 如图①、②、③是旋转三角板得到的图形中的三种情况，试探究：

（1）三角板绕点旋转，观察线段和之间有什么数量关系？并结合图②加以证明；
（2）三角板绕点旋转，是否能成为等腰三角形？若能，写出所有 为等腰三角形时的长（直接写出答案即可）；若不能，请说明理由;
（3）如图，若将三角板的直角顶点放在斜边上的处，且，和前面一样操作，试问线段和之间有什么数量关系？并结合图④证明你的结论.

Answer 1

（1）PD=PE （2）能成为等腰三角形；0，1， （3）

试题分析：（1）PD=PE；将一块等腰直角三角板PDE的直角顶点放在斜边的中点处，将三角板绕点旋转，根据旋转的特征，旋转过程中图形的形状、大小不变，所以PD=PE
（2）能成为等腰三角形；在中，，，是等腰直角三角形；当CE=0，即C、E点重合时，斜边的中点处，CP是斜边上的高，CP⊥AB，PC=PB=，此时能成为等腰三角形；当CE=1时，E点是BC的中点，旋转图形如图1所示，PE=BE= ，所以能成为等腰三角形；当CE=，旋转图形如图3所示，CE=CB+BE；此时能成为等腰三角形
（3）；若将三角板的直角顶点放在斜边上的处，且，所以F是AB的四等分点；；过C点做CM⊥AB交AB于M点；所以M是AB的中点，F是AM的中点；在中，，，CM=AB的一半；DF是的中位线，所以DF=CM的一半，所以DF= ；同理EF= ，所以
点评：本题考查旋转和等腰三角形，掌握旋转的特征，熟悉等腰三角形的性质是解本题的关键