Question

【题目】在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣ x2+bx+c与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，直线y=x+4经过A，C两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在AC上方的抛物线上有一动点P．
①如图1，当点P运动到某位置时，以AP，AO为邻边的平行四边形第四个顶点恰好也在抛物线上，求出此时点P的坐标；

②如图2，过点O，P的直线y=kx交AC于点E，若PE：OE=3：8，求k的值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵直线y=x+4经过A，C两点，

∴A点坐标是（﹣4，0），点C坐标是（0，4），

又∵抛物线过A，C两点，

∴ ，解得： ，

∴抛物线的解析式为 ．

（2）

解：①如图1

∵ ，

∴抛物线的对称轴是直线x=﹣1．

∵以AP，AO为邻边的平行四边形的第四个顶点Q恰好也在抛物线上，

∴PQ∥AO，PQ=AO=4．

∵P，Q都在抛物线上，

∴P，Q关于直线x=﹣1对称，

∴P点的横坐标是﹣3，

∴当x=﹣3时， ，

∴P点的坐标是 ；

②过P点作PF∥OC交AC于点F，

∵PF∥OC，

∴△PEF∽△OEC，

∴ ．

又∵ ，

∴ ，

设点F（x，x+4，

∴ ，

化简得：x2+4x+3=0，解得：x1=﹣1，x2=﹣3．

当x=﹣1时， ；当x=﹣3时， ，

即P点坐标是 或 ．

又∵点P在直线y=kx上，

∴ ．

【解析】（1）由直线的解析式y=x+4易求点A和点C的坐标，把A和C的坐标分别代入y=﹣ x2+bx+c求出b和c的值即可得到抛物线的解析式；（2）①若以AP，AO为邻边的平行四边形的第四个顶点Q恰好也在抛物线上，则PQ∥AO，再根据抛物线的对称轴可求出点P的横坐标，由（1）中的抛物线解析式，进而可求出其纵坐标，问题得解；
②过P点作PF∥OC交AC于点F，因为PF∥OC，所以△PEF∽△OEC，由相似三角形的性质：对应边的比值相等可求出PF的长，进而可设点点F（x，x+4），利用 ，可求出x的值，解方程求出x的值可得点P的坐标，代入直线y=kx即可求出k的值．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用二次函数的性质和相似三角形的判定与性质的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小；相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方．