题目内容

【题目】已知:△ABC内接于⊙O,D是 上一点,OD⊥BC,垂足为H.
(1)如图1,当圆心O在AB边上时,求证:AC=2OH;
(2)如图2,当圆心O在△ABC外部时,连接AD、CD,AD与BC交于点P,求证:∠ACD=∠APB;
(3)在(2)的条件下,如图3,连接BD,E为⊙O上一点,连接DE交BC于点Q、交AB于点N,连接OE,BF为⊙O的弦,BF⊥OE于点R交DE于点G,若∠ACD﹣∠ABD=2∠BDN,AC=5 ,BN=3 ,tan∠ABC= ,求BF的长.

【答案】
(1)解:∵OD⊥BC,

∴由垂径定理可知:点H是BC的中点,

∵点O是AB的中点,

∴OH是△ABC的中位线,

∴AC=2OH;


(2)解:∵OD⊥BC,

∴由垂径定理可知:

∴∠BAD=∠CAD,

∴∠ABC=∠ADC,

∴180°﹣∠BAD﹣∠ABC=180°﹣∠CAD﹣∠ADC,

∴∠ACD=∠APB,


(3)解:连接AO延长交于⊙O于点I,连接IC,AB与OD相交于点M,

∵∠ACD﹣∠ABD=2∠BDN,

∴∠ACD﹣∠BDN=∠ABD+∠BDN,

∵∠ABD+∠BDN=∠AND,

∴∠ACD﹣∠BDN=∠AND,

∵∠ACD+∠ABD=180°,

∴∠ABD+∠BDN=180°﹣∠AND,

∴∠AND=180°﹣∠AND,

∴∠AND=90°,

∵tan∠ABC= ,BN=3

∴NQ=

∴由勾股定理可求得:BQ=

∵∠BNQ=∠QHD=90°,

∴∠ABC=∠QDH,

∵OE=OD,

∴∠OED=∠QDH,

∵∠ERG=90°,

∴∠OED=∠GBN,

∴∠GBN=∠ABC,

∵AB⊥ED,

∴BG=BQ= ,GN=NQ=

∵AI是⊙O直径,

∴∠ACI=90°,

∵tan∠AIC=tan∠ABC=

=

∴IC=10

∴由勾股定理可求得:AI=25,

连接OB,

设QH=x,

∵tan∠ABC=tan∠ODE=

∴HD=2x,

∴OH=OD﹣HD= ﹣2x,

BH=BQ+QH= +x,

由勾股定理可得:OB2=BH2+OH2

∴( 2=( +x)2+( ﹣2x)2

解得:x= 或x=

当QH= 时,

∴QD= QH=

∴ND=QD+NQ=6

∴MN=3 ,MD=15

∵MD>

∴QH= 不符合题意,舍去,

当QH= 时,

∴QD= QH=

∴ND=NQ+QD=4

由垂径定理可求得:ED=10

∴GD=GN+ND=

∴EG=ED﹣GD=

∵tan∠OED=

∴EG= RG,

∴RG=

∴BR=RG+BG=12

∴由垂径定理可知:BF=2BR=24.


【解析】(1)OD⊥BC可知点H是BC的中点,又中位线的性质可得AC=2OH;(2)由垂径定理可知: ,所以∠BAD=∠CAD,由因为∠ABC=∠ADC,所以∠ACD=∠APB;(3)由∠ACD﹣∠ABD=2∠BDN可知∠AND=90°,由tan∠ABC= 可知NQ和BQ的长度,再由BF⊥OE和OD⊥BC可知∠GBN=∠ABC,所以BG=BQ,连接AO并延长交⊙O于点I,连接IC后利用圆周角定理可求得IC和AI的长度,设QH=x,利用勾股定理可求出QH和HD的长度,利用垂径定理可求得ED的长度,最后利用tan∠OED= 即可求得RG的长度,最后由垂径定理可求得BF的长度.

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