题目内容

如图所示，在平面直角坐标系中，二次函数y=a（x-2）2-1图象的顶点为P，与x轴交点为A、B，与y轴交点为C，连接BP并延长交y轴于点D．
（1）写出点P的坐标；
（2）连接AP，如果△APB为等腰直角三角形，求a的值及点C、D的坐标；
（3）在（2）的条件下，连接BC、AC、AD，点E（0，b）在线段CD（端点C、D除外）上，将△BCD绕点E逆时针方向旋转90°，得到一个新三角形．设该三角形与△ACD重叠部分的面积为S，根据不同情况，分别用含b的代数式表示S，选择其中一种情况给出解答过程，其它情况直接写出结果；判断当b为何值时，重叠部分的面积最大写出最大值．
（1）P（2，-1）

（2）因为△APB为等腰直角三角形，P点坐标为（2，-1）
所以AB=2，
所以A（1，0），B（3，0）
将A点坐标代入二次函数y=a（x-2）2-1得：
0=a（1-2）2-1，
所以a=1
所以二次函数为：y=x2-4x+3
所以C（0，3），
所以OC=OB，∠OBC=45°
又因为∠ABP=45°，
所以∠CBD=90°，∠BCO=45°，
所以△BCD为等腰直角三角形，
所以D（0，-3）；

（3）①当0≤b＜3时，旋转后的△B′C′D′与△ACD的重叠部分为△CEM．

因为CE=C’E，
所以C点恰好在直线B′C′上，
CE=3-b，AC直线方程为：y=3-3x，
E（0，b）所以EM=
3-b
3

所以重叠部分△CEM的面积为：
S=
1
2
×（3-b）×
3-b
3
=
(3-b)2
6
（0≤b＜3）；
②当-1＜b＜0时，旋转后的△B′C′D′与△ACD的重叠部分为五边形EMANQ，
因为ED=ED′=EQ，
所以D’点恰好在直线BD上，DE=EQ=3+b，
所以Q（0，3+2b），D′（3+b，b），
CQ=3-（3+2b）=-2b，
AC直线方程为：y=3-3x，
AD直线方程为：y=3x-3，
D’Q直线方程为：y=3+2b-x，
所以EM=
3+b
3
，N（-b，3+3b）
所以重叠部分五边形EMANQ的面积为：
S=S△ACD-S△CQN-S△EMD
=
1
2
×6×1-
1
2
×（-2b）×（-b）-
1
2
×（3+b）×
3+b
3

=-
7b2
6
-b+
3
2
（-1＜b＜0）；
③当-3＜b≤-1时，旋转后的△B’C’D’与△ACD的重叠部分为四边形EMNQ；
因为ED=ED’=EQ，
所以D′点恰好在直线BD上，DE=EQ=3+b，
所以Q（0，3+2b），D′（3+b，b），
DQ=（3+2b）-（-3）=6+2b，
AD直线方程为：y=3x-3，
D′Q直线方程为：y=3+2b-x，
所以EM=
3+b
3
，N（
3+b
2
，
3(1+b)
2
），
所以重叠部分四边形EMNQ的面积为：
S=S△DNQ-S△EMD=
1
2
×(6+2b)×
3+b
2
-
1
2
×(3+b)×
3+b
3
=
(3+b)2
3
（-3＜b≤1），
所以重叠部分的面积为：S=
(3-b)2
6
(0≤b＜3)
-
7b2
6
-b+
3
2
(-1＜b＜0)
(3+b)2
3
(-3＜b≤-1)
，
当0≤b＜3时，b=0时，S最大，且S最大=
3
2
，
当-1＜b＜0时，S=-
7b2
6
-b+
3
2
=--
7
6
(b+
3
7
)2+
12
7
，
b=-
3
7
时，S最大，且S最大=
12
7
，
当-3＜b≤-1时，b=-1时，S最大，且S最大=
4
3
，
综上所述：当b=-
3
7
时，S最大=
12
7
．
练习册系列答案
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2
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1
2
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b
2a
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4ac-b2
4a
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4
十
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