Question

【题目】如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，BC＝8cm，点P从点A开始沿射线AC向点C以2cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点C开始沿边CB向点B以1cm/s的速度移动．如果P、Q分别从A、C同时出发，运动的时间为ts，当点Q运动到点B时，两点停止运动．

（1）当点P在线段AC上运动时，P、C两点之间的距离　 　cm．（用含t的代数式表示）

（2）在运动的过程中，是否存在某一时刻，使得△PQC的面积是△ABC面积的．若存在，求t的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】（1）（6﹣2t）；（2）存在，理由见解析，t＝4

【解析】

（1）依据AC＝6cm，AP＝2t，即可得到：当点P在线段AC上运动时，P、C两点之间的距离（6﹣2t）cm；

（2）分两种情况：当0＜t＜3时，当3＜t≤8时，分别依据△PQC的面积是△ABC面积的，列方程求解即可．

解：（1）∵△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，BC＝8cm，

∴由勾股定理得AC＝6cm，

又∵点P从点A开始沿射线AC向点C以2cm/s的速度移动，

∴AP＝2t，

∴当点P在线段AC上运动时，P、C两点之间的距离（6﹣2t）cm；

故答案为：（6﹣2t）；

（2）△ABC的面积为S△ABC＝×6×8＝24，

①当0＜t＜3时，PC＝6﹣2t，QC＝t，

∴S△PCQ＝PC×QC＝t（6﹣2t），

∴t（6﹣2t）＝4，

即t2﹣3t+4＝0，

∵△＝b2﹣4ac＝﹣7＜0，

∴该一元二次方程无实数根，

∴该范围下不存在；

②当3＜t≤8时，PC＝2t﹣6，QC＝t，

∴S△PCQ＝PC×QC＝t（2t﹣6），

∴t（2t﹣6）＝4，

即t2﹣3t﹣4＝0，

解得t＝4或﹣1（舍去），

综上所述，存在，当t＝4时，△PQC的面积是△ABC面积的．