Question

【题目】在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣4ax﹣（a≠0）交x轴于A、B两点，交y轴于点C，这条抛物线的顶点为D．

（1）求点D的坐标．

（2）过点C作CE∥x轴交抛物线于点E．当CE＝2AB时，求点D的坐标．

（3）这条抛物线与直线y＝﹣x相交，其中一个交点的横坐标为﹣1．过点P（m，0）作x轴的垂线，交这条抛物线于点M，交直线y＝﹣x于点N，且点M在点N的下方．当线段MN的长度随m的增大而增大时，求m的取值范围．

（4）点Q在这条抛物线上运动，若在这条抛物线上只存在两个点Q，满足S△ABQ＝3S△ABC，直接写出a的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）(2，﹣4a﹣)；（2）(2，)；（3）﹣1＜m≤1；（4）0＜a＜或﹣＜a＜﹣．

【解析】

（1）将y＝ax2﹣4ax﹣化为顶点式即可写出点D的坐标；

（2）由对称轴方程x＝2及抛物线的对称性可推出CE，AB的长，推出点A，B的坐标，将A或B的坐标代入y＝ax2﹣4ax﹣中，即可求出a的值，进一步写出点D的坐标；

（3）先把x＝-1代入y＝﹣x中，求出交点坐标，代入y＝ax2﹣4ax﹣中，求出抛物线解析式，用含m的代数式分别表示出M，N的坐标，进一步表示出MN的长度，为二次函数，可根据增减性确定结果；

（4）分情况讨论，当a＞0时和当a＜0时，分别列出不等式或不等式组即可．

（1）y＝ax2﹣4ax﹣

＝a（x﹣2）2﹣4a﹣，

∴点D的坐标为（2，﹣4a﹣）；

（2）∵对称轴为直线x＝2，CE∥x轴，

∴CE＝4．

∵CE＝2AB，∴AB＝2，

∴点A、B的坐标为（1，0）、（3，0），

将（1，0）代入y＝ax2﹣4ax﹣中，

得，a﹣4a﹣＝0，

解得，a＝﹣，

∴﹣4a﹣＝4×（﹣）﹣＝，

∴点D的坐标为（2，）；

（3）把x＝-1代入y＝﹣x中，得y＝1，

将（﹣1，1）代入y＝ax2﹣4ax﹣中，

得a+4a﹣＝1，

解得a＝，

∴y＝x2﹣2x﹣，

∴点M，N的坐标分别为（m，m2﹣2m﹣），（m，-m），

∴MN＝﹣m﹣（m2﹣2m﹣）＝﹣m2+m+，

∵﹣＜0，对称轴为直线，

∴当线段MN的长度随m的增大而增大时，m的取值范围是﹣1＜m≤1；

（4）①当a＞0时，抛物线开口方向向上，

点C坐标为（0，﹣），

由（1）知，点D的纵坐标为﹣4a﹣，

∴由题意可列，﹣4a﹣＞﹣×3，

解得，a＜，

∴0＜a＜；

②当a＜0时，抛物线开口方向向下，

点C坐标为（0，﹣），

由（1）知，点D的纵坐标为﹣4a﹣，

∴由题意可列，，

解得，﹣＜a＜；

综上所述，a的取值范围为0＜a＜或﹣＜a＜．