题目内容
已知：如图，⊙O1和⊙O2外切于点A，直线BD切⊙O1于点B，交⊙O2于点C、D，直线DA交⊙
O1于点E．
（1）求证：∠BAC=∠ABC+∠D；
（2）求证：AB2=AC•AE．
O1于点E．（1）求证：∠BAC=∠ABC+∠D；
（2）求证：AB2=AC•AE．
证明：（1）过A点作⊙O1和⊙O2的公切线AM，（1分）
则∠MAC=∠D，
∵CB是⊙O1的切线，
∴∠ABC=∠BAM，
∴∠BAC=∠BAM+∠MAC=∠ABC+∠D；（4分）
（2）连接BE，（5分）
则∠E=∠ABC，
又∵∠EAB=∠ABD+∠D=∠BAC，
∴△ABE∽△ACB，
∴
=
，
即AB2=AC•AE． （8分）
则∠MAC=∠D，
∵CB是⊙O1的切线，
∴∠ABC=∠BAM，
∴∠BAC=∠BAM+∠MAC=∠ABC+∠D；（4分）
（2）连接BE，（5分）
则∠E=∠ABC，
又∵∠EAB=∠ABD+∠D=∠BAC，
∴△ABE∽△ACB，
∴
| AE |
| AB |
| AB |
| AC |
即AB2=AC•AE． （8分）
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