题目内容
如图甲，已知AB是⊙O的直径，直线l与⊙O相切于点B，直线m垂直AB于点C，交⊙O于P、Q两点．连接AP，过O作OD∥AP交l于点D，连接AD与m交于点M．
（1）如图乙，当直线m过点O时，求证：M是PO的中点；
（2）如图甲，当直线m不过点O时，M是否仍为PC的中点？证明你的结论．
（1）如图乙，当直线m过点O时，求证：M是PO的中点；
（2）如图甲，当直线m不过点O时，M是否仍为PC的中点？证明你的结论．
证明：（1）连接PD，
∵AB是⊙O的直径，直线l与⊙O相切于点B，直线m垂直AB于点C，
∴∠POA=∠DBA=90°，
∵OD∥AP，
∴∠PAO=∠DOB，
又∵AO=BO，
∴△APO≌△ODB，
∴AP=OD，
∴四边形APDO是平行四边形，
∴M是PO中点；
（2）M仍为PC的中点，理由如下：
∵AP∥OD，
∴∠PAO=∠DOB，又∠PCA=∠DBO=90°，
∴△APC∽△ODB，
∴
=
①，
又易证△ACM∽△ABD，
∴
=
，
∵AB=2OB，
∴
=
，
∴
=
②，
由①②得，
=
，
∴即PC=2MC．
M仍为PC的中点．
∵AB是⊙O的直径，直线l与⊙O相切于点B，直线m垂直AB于点C，
∴∠POA=∠DBA=90°，
∵OD∥AP，
∴∠PAO=∠DOB，
又∵AO=BO，
∴△APO≌△ODB，
∴AP=OD，
∴四边形APDO是平行四边形，
∴M是PO中点；
（2）M仍为PC的中点，理由如下：
∵AP∥OD，
∴∠PAO=∠DOB，又∠PCA=∠DBO=90°，
∴△APC∽△ODB，
∴
| PC |
| BD |
| AC |
| BO |
又易证△ACM∽△ABD，
∴
| AC |
| AB |
| MC |
| BD |
∵AB=2OB，
∴
| AC |
| 2OB |
| MC |
| BD |
∴
| AC |
| OB |
| 2MC |
| BD |
由①②得，
| PC |
| BD |
| 2MC |
| BD |
∴即PC=2MC．
M仍为PC的中点．
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O1于点E．
