Question

【题目】如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E为CD上一动点，AE交BD于F，过F作FH⊥AE于H，过H作GH⊥BD于G，下列有四个结论：①AF＝FH，②∠HAE＝45°，③BD＝2FG，④△CEH的周长为定值，其中正确的结论有（　　）

A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ①②③④

Answer 1

【答案】D

【解析】（1）如图1，连接FC，延长HF交AD于点L，

∵在正方形ABCD中，∠ADF=∠CDF=45°，AD=CD，DF=DF，

∴△ADF≌△CDF，

∴FC=AF，∠ECF=∠DAF，

∵∠ALH+∠LAF=90°，

∴∠LHC+∠DAF=90°，

∵∠ECF=∠DAF，

∴∠FHC=∠FCH，

∴FH=FC，

∴FH=AF；

（2）如图1，∵FH⊥AE，FH=AF，

∴∠HAE=45°；

（3）如图2，连接AC交BD于点O，则由正方形的性质可得：BD=2OA，

∵ HF⊥AE，HG⊥BD，

∴∠AFO+∠GFH=∠GHF+∠GFH，

∴∠AFO=∠GHF．

∵AF=HF，∠AOF=∠FGH=90°，

∴△AOF≌△FGH．

∴OA=GF．

∵BD=2OA，

∴BD=2FG；

（4）延长AD至点M，使AD=DM，过点C作CI∥HL，则：LI=HC，

∴∠IMC=∠ECM=45°，

由已知条件可得：∠DEM=∠DEA=∠FHC=∠DIC，由此可得∠MEC=∠CIM，

又∵MC=CM，
∴△MEC≌△CIM，

∴CE=IM，

同理，可得：AL=HE，

∴HE+HC+EC=AL+LI+IM=AM=8．

∴△CEH的周长为8，为定值．

故（1）（2）（3）（4）结论都正确．