题目内容
【题目】已知:矩形ABCD内一点N,△ANB为等腰直角三角形,连结BN、CN并延长分别交DC,AD于点E,M,在AB上截取BF=EC,连接MF.
(1)求证:四边形FBCE为正方形;
(2)求证:MN=NC;
(3)若S△FMC:S正方形FBCE=2:3,求BN:MD的值.
【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析;(3)BN:MD=.
【解析】试题分析:(1)先证明四边形为矩形,再利用为等腰直角三角形,证明为等腰直角三角形,则,所以四边形为正方形;
(2)作辅助线,构建全等三角形,证明≌,得,再利用平行线分线段成比例定理可得 则
(3)设 表示出和S正方形FBCE,并根据S△FMC:S正方形FBCE=2:3,依次计算出的长,最后得结论.
试题解析:(1)如图1,∵四边形ABCD为矩形,
∴AB∥CD,
∴BF∥EC,
∵BF=EC,
∴四边形FBCE为矩形,
∵△ANB为等腰直角三角形,
∴△BEC为等腰直角三角形,
∴BC=CE,
∴四边形FBCE为正方形;
(2)如图2,过N作GH⊥BC,交BC于H,AD于G,则GH⊥AD,
∴△BHN≌△AGN,
∴NG=NH,
∵AD∥BC,
∴
∴MN=NC;
(3)如图2,设BF=1,则S正方形FBCE=1,,
∵FO=OC,MN=NC,
∴ON∥FM,
由于S△FMC:S正方形FBCE=2:3,
即
∴△AFM是等腰直角三角形,
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