题目内容

【题目】已知,如图,ABC中,∠C=90°EBC边中点.

1)尺规作图:以AC边为直径,作⊙O,交AB于点D(保留作图痕迹,标上相应的字母,可不写作法);

2)连结DE,求证:DE为⊙O的切线;

3)若AD=4BD=,DE的长.

【答案】(1)作图见解析;(2)证明见解析;(3)

【解析】试题分析:1)作AC的垂直平分线,垂足为O,然后以O点为圆心,OA为半径作圆即可;

2)如图2,连结ODCD,根据圆周角定理得到∠ADC=90°,再根据斜边上的中线等于斜边的一半得到DE=EC=BE,则利用等腰三角形的性质得∠1=2,加上∠3=4,则∠1+3=2+4=90°,于是可根据切线的判定定理可判断DE为⊙O的切线;

3)证明RtBDCRtBCA,利用相似比计算出BC=,然后利用斜边上的中线等于斜边的一半即可得到DE的长.

试题解析:1)解:如图1

2)证明:如图2,连结ODCD

AC边为直径,

∴∠ADC=90°

EBC边中点,

DERtBDC斜边BC上的中线,

DE=EC=BE

∴∠1=2

OC=OD

∴∠3=4

∴∠1+3=2+4=ACB=90°

ODDE

DE为⊙O的切线;

3)解:∵∠DBC=CBA

RtBDCRtBCA

BCAB=BDBC,即BC:(4+=BC

BC=

DE=BC=

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