题目内容
【题目】已知,如图,△ABC中,∠C=90°,E为BC边中点.
(1)尺规作图:以AC边为直径,作⊙O,交AB于点D(保留作图痕迹,标上相应的字母,可不写作法);
(2)连结DE,求证:DE为⊙O的切线;
(3)若AD=4,BD=,求DE的长.
【答案】(1)作图见解析;(2)证明见解析;(3)
【解析】试题分析:(1)作AC的垂直平分线,垂足为O,然后以O点为圆心,OA为半径作圆即可;
(2)如图2,连结OD,CD,根据圆周角定理得到∠ADC=90°,再根据斜边上的中线等于斜边的一半得到DE=EC=BE,则利用等腰三角形的性质得∠1=∠2,加上∠3=∠4,则∠1+∠3=∠2+∠4=90°,于是可根据切线的判定定理可判断DE为⊙O的切线;
(3)证明Rt△BDC∽Rt△BCA,利用相似比计算出BC=,然后利用斜边上的中线等于斜边的一半即可得到DE的长.
试题解析:(1)解:如图1,
(2)证明:如图2,连结OD,CD,
∵AC边为直径,
∴∠ADC=90°,
而E为BC边中点,
∴DE为Rt△BDC斜边BC上的中线,
∴DE=EC=BE,
∴∠1=∠2,
∵OC=OD,
∴∠3=∠4,
∴∠1+∠3=∠2+∠4=∠ACB=90°,
∴OD⊥DE,
∴DE为⊙O的切线;
(3)解:∵∠DBC=∠CBA,
∴Rt△BDC∽Rt△BCA,
∴BC:AB=BD:BC,即BC:(4+)=:BC,
∴BC=,
∴DE=BC=
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