Question

如图，⊙O₁与⊙O₂的半径之比为(

2

-1)：1，它们外切于点P，弧APB与弧CPO的弧长之和为5π，则O₁O₂=

 

．

Answer 1

分析：先根据题意求出AO₁=AO₂，再根据勾股定理求得AO₁=r，由已知条件，可得r=5

2

，从而求出O₁O₂的长．

解答：解：连接AO₂，BO₂，如图，
设AO₂=r，则CO₁=（

2

-1）r，
由勾股定理得：AO₁²=O₁O₂²-AO₂²，即AO₁²=[（

2

-1）r+r]²-r²，整理得AO₁=r，
∴∠AO₁O₂=∠AO₂O₁=45°，∠AO₁B=∠AO₂B=90°，
∵弧APB与弧CPO的弧长之和为5π，
∴

1

2

π（

2

-1）r+

1

2

πr=5π，解得r=5

2

，
∴O₁O₂=（

2

-1）r+r=10．

点评：本题考查的知识点：勾股定理的应用，弧长公式．