Question

如图，AB是⊙O的直径，AE平分∠BAF，交⊙O于点E，过点E作直线ED⊥AF，交AF的延长线于点D，交AB的延长线于点C．

（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若CB=2，CE=4，①求圆的半径；②求DE、DF的长．

Answer 1

（1）证明见解析；（2）①3；②，.

试题分析：（1）连接OE，证OE∥AD，即可得出OE⊥CD根据切线判定推出即可；（2）证△COE∽△CAD，求出DE，AD，证△DEF∽△DAF，推出DE2=DF×AD，即可求出DF．
试题解析：（1）如图，连接OE，
∵OA=OE，∴∠OAE=∠OEA.
∵AE平分∠CAD，∴∠OAE=∠DAE. ∴∠OEA=∠DAE. ∴OE∥AD.
∵DE⊥AD，∴OE⊥DE.
∵OE为半径，∴CD是⊙O的切线。

（2）①设⊙O的半径是r，
∵CD是⊙O的切线，∴∠OEC=90°.
由勾股定理得：OE²+CE²=OC²，即，解得r=3，即⊙O的半径是3
②∵由（1）知：OE∥AD，∴，△COE∽△CAD.
∴. ∴. ∴，解得.
如图，连接BE、EF，
∵AB是直径，∴∠BEA="90°." ∴∠ABE+∠BAE="90°."
∵B、E、A、F四点共圆，∴∠EFD=∠ABE.
∵AE平分∠CAD，∴∠BAE=∠DAE. ∴∠DAE+∠EFD=90°.
∵ED⊥AD，∴∠FED+∠EFD="90°." ∴∠DAE=∠FED.
∵∠D=∠D，∴△EFD∽△AED. ∴，∴.