题目内容
【题目】如图,在矩形ABCD中,AB=2,BC=4,⊙D的半径为1.现将一个直角三角板的直角顶点与矩形的对称中心O重合,绕着O点转动三角板,使它的一条直角边与⊙D切于点H,此时两直角边与AD交于E,F两点,则tan∠EFO的值为_____.
【答案】
【解析】分析: 本题可以通过证明∠EFO=∠HDE,再求出∠HDE的正切值就是∠EFO的正切值.
详解: 连接DH,作OG⊥CD于G,如图,
∵在矩形ABCD中,AB=2,BC=4,
∴BD==2,
∵O是对称中心,
∴OD=BD=,
∵OG⊥CD,
∴DG=CD=1,OG=BC=2,
∴OG为O的切线,
∵OH是D的切线,
∴DH⊥OH,OH=OG=2,
∵DH=1,
∴tan∠ADB==,tan∠HOD==,
∵∠ADB=∠HOD,
∴OE=ED,
设EH为x,则ED=OE=OHEH=2x,
∴1 +x =(2x) ,解得x=,
即EH=.
又∵∠FOE=∠DHO=90°,
∴FO∥DH,
∴∠EFO=∠HDE,
∴tan∠EFO=tan∠HDE==.
点睛: 本题主要是考查切线的性质及解直角三角形的应用,关键是利用平行把已知角代换成其它相等的容易求出其正切值的角.