题目内容
【题目】已知正方形与正方形(点C、E、F、G按顺时针排列),是的中点,连接,.
(1)如图1,点在上,点在的延长线上,
求证:=ME,⊥.ME
简析: 由是的中点,AD∥EF,不妨延长EM交AD于点N,从而构造出一对全等的三角形,即 ≌ .由全等三角形性质,易证△DNE是 三角形,进而得出结论.
(2)如图2, 在的延长线上,点在上,(1)中结论是否成立?若成立,请证明你的结论;若不成立,请说明理由.
(3)当AB=5,CE=3时,正方形的顶点C、E、F、G按顺时针排列.若点在直线CD上,则DM= ;若点E在直线BC上,则DM= .
【答案】(1)等腰直角;(2)结论仍成立,见解析;(3)或,.
【解析】
(1)结论:DM⊥EM,DM=EM.只要证明△AMH≌△FME,推出MH=ME,AH=EF=EC,推出DH=DE,因为∠EDH=90°,可得DM⊥EM,DM=ME;
(2)结论不变,证明方法类似;
(3)分两种情形画出图形,理由勾股定理以及等腰直角三角形的性质解决问题即可;
解:(1) △AMN ≌ △FME ,等腰直角.
如图1中,延长EM交AD于H.
∵四边形ABCD是正方形,四边形EFGC是正方形,
∴,,
∴,
∴,
∵,,
∴△AMH≌△FME,
∴,,
∴,
∵,
∴DM⊥EM,DM=ME.
(2)结论仍成立.
如图,延长EM交DA的延长线于点H,
∵四边形ABCD与四边形CEFG都是正方形,
∴,,
∴AD∥EF,∴.
∵,,
∴△AMF≌△FME(ASA), …
∴,,∴.
在△DHE中,,,,
∴,DM⊥EM.
(3)①当E点在CD边上,如图1所示,由(1)的结论可得三角形DME为等腰直角三角形,则DM的长为,此时,所以;
②当E点在CD的延长线上时,如图2所示,由(2)的结论可得三角形DME为等腰直角三角形,则DM的长为,此时 ,所以 ;
③当E点在BC上是,如图三所示,同(1)、(2)理可得到三角形DME为等腰直角三角形,
证明如下:∵四边形ABCD与四边形CEFG都是正方形, 且点E在BC上
∴AB//EF,∴,
∵M为AF中点,∴AM=MF
∵在三角形AHM与三角形EFM中:
,
∴△AMH≌△FME(ASA),
∴,,∴.
∵在三角形AHD与三角形DCE中:
,
∴△AHD≌△DCE(SAS),
∴,
∵∠ADC=∠ADH+∠HDC=90°,
∴∠HDE=∠CDE+∠HDC=90°,
∵在△DHE中,,,,
∴三角形DME为等腰直角三角形,则DM的长为,此时在直角三角形DCE中 ,所以
【题目】今年秋季,斗门土特产喜获丰收,某土特产公司组织10辆汽车装运甲,乙,丙三种土特产去外地销售,按计划10辆车都要装运,每辆汽车只能装运同一士特产,且必须装满,设装运甲种士特产的汽车有x辆,装运乙种特产的汽车有y辆,根据下表提供的信息,解答以下问题:
土特产种类 | 甲 | 乙 | 丙 |
每辆汽车运载量(吨) | 4 | 3 | 6 |
每吨土特产获利(元) | 1000 | 900 | 1600 |
(1)装运丙种土特产的车辆数为 辆(用含有x,y的式子表示);
(2)用含有x,y的式子表示这10辆汽车共装运土特产的数量;
(3)求销售完装运的这批土特产后所获得的总利润(用含有x,y的式子表示).