题目内容

【题目】已知正方形与正方形(点CEFG按顺时针排列),是的中点,连接,.

1)如图1,点在上,点在的延长线上,

求证:=ME,.ME

简析: 由是的中点,ADEF,不妨延长EMAD于点N,从而构造出一对全等的三角形,即 .由全等三角形性质,易证△DNE 三角形,进而得出结论.

2)如图2 的延长线上,点在上,(1)中结论是否成立?若成立,请证明你的结论;若不成立,请说明理由.

3)当AB=5CE=3时,正方形的顶点CEFG按顺时针排列.若点在直线CD上,则DM= ;若点E在直线BC上,则DM= .

【答案】1)等腰直角;(2)结论仍成立,见解析;(3.

【解析】

1)结论:DMEMDM=EM.只要证明AMH≌△FME,推出MH=MEAH=EF=EC,推出DH=DE,因为∠EDH=90°,可得DMEMDM=ME
2)结论不变,证明方法类似;
3)分两种情形画出图形,理由勾股定理以及等腰直角三角形的性质解决问题即可;

解:(1 AMN FME ,等腰直角.

如图1中,延长EMADH

∵四边形ABCD是正方形,四边形EFGC是正方形,




∴△AMH≌△FME



DMEMDM=ME

2)结论仍成立.

如图,延长EMDA的延长线于点H,

∵四边形ABCD与四边形CEFG都是正方形,

,

ADEF,.

,

∴△AMF≌△FME(ASA), …

,.

DHE中,,,

DMEM.

3)①当E点在CD边上,如图1所示,由(1)的结论可得三角形DME为等腰直角三角形,则DM的长为,此时,所以

②当E点在CD的延长线上时,如图2所示,由(2)的结论可得三角形DME为等腰直角三角形,则DM的长为,此时 ,所以

③当E点在BC上是,如图三所示,同(1)、(2)理可得到三角形DME为等腰直角三角形,

证明如下:∵四边形ABCD与四边形CEFG都是正方形, 且点EBC

AB//EF,∴

MAF中点,∴AM=MF

∵在三角形AHM与三角形EFM中:

,

∴△AMH≌△FME(ASA),

,.

∵在三角形AHD与三角形DCE中:

AHD≌△DCE(SAS),

,

∵∠ADC=ADH+HDC=90°

∴∠HDE=CDE+HDC=90°,

∵在DHE中,,,

∴三角形DME为等腰直角三角形,则DM的长为,此时在直角三角形DCE ,所以

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