题目内容
【题目】著名的恩施大峡谷(A)和世界级自然保护区星斗山(B)位于笔直的沪渝高速公路X同侧,AB=50km,A、B到直线X的距离分别为10km和40km,要在沪渝高速公路旁修建一服务区P,向A、B两景区运送游客.小民设计了两种方案,图1是方案一的示意图(AP与直线X垂直,垂足为P),P到A、B的距离之和S1=PA+PB,图2是方案二的示意图(点A关于直线X的对称点是A',连接BA′交直线X于点P),P到A、B的距离之和S2=PA+PB
(1)S1=_____km.S2=_____km.
(2)PA+PB的最小值为_____km.
(3)拟建的恩施到张家界高速公路与沪渝高速公路垂直,建立如图3所示的直角坐标系,B到直线的距为30km,请你在X旁和P旁各修建一服务区P、Q,使P、A、B、Q组成的四边形的周长最小,(用尺画出点P和点Q的位置)这个最小值为_____km.
【答案】(40+10) (50+50 ).
【解析】
(1)根据勾股定理分别求得S1、S2的值即可;
(2)在公路上任找一点M,连接MA,MB,MA',由轴对称知MA=MA,由三角形的三边关系得出MB+MA=MB+MA'>A'B,得出S2=BA'为最小;
(3)过A作关于x轴的对称点A',过B作关于y轴的对称点B',连接A'B',交x轴于点P,交y轴于点Q,求出A'B'的值即可.在公路上任找一点M,连接MA,MB,MA',由轴对称知MA=MA,由三角形三边关系得出MB+MA=MB+MA'>A'B,S2=BA'为最小;即可得出答案.
解:(1)如图1中,过B作BC⊥X于C,AD⊥BC于D,则CP=AD,
则BC=40km,
又∵AP=10,
∴BD=BC﹣CD=40﹣10=30km.
在△ABD中,AD==40(km),
∴CP=40km,
在Rt△PBC中,BP===40(km),
∴S1=40+10(km).
如图2﹣1中,过B作BC⊥AA′垂足为C,
则A′C=50km,
又∵BC=40km,
∴BA'==10(km),
由轴对称知:PA=PA',
∴S2=BA'=10km,
故答案为:(40+10),10;
2)在公路上任找一点M,连接MA,MB,MA',如图2﹣2所示:
由轴对称知MA=MA',
∴MB+MA=MB+MA'>A'B,
∴S2=BA'=10km为最小,
即PA+PB的最小值为10km;
故答案为:10;
(3)过A作关于x轴的对称点A',过B作关y轴的对称点B',连接A'B',交x轴于点P,交y轴于点Q,如图3所示:
则P,Q即为所求.
过A'、B'分别作x轴、y轴的平行线交于点G,
B′G=40+10=50km,A′G=30+30+40=100km,
A'B'==50(km),
∴AB+AP+BQ+QP=AB+A′P+PQ+B′Q=50+50km,
∴所求四边形的周长为(50+50)km;
故答案为:(50+50).
【题目】某商店分两次购进两种商品进行销售,两次购进同一种商品的进价相同,具体情况如下表所示:
购进数量(件) | 购进所需费用(元) | ||
|
| ||
第一次 | 30 | 40 | 3800 |
第二次 | 40 | 30 | 3200 |
(1) 求两种商品每件的进价分别是多少元?
(2) 商场决定种商品以每件30元出售,种商品以每件100元出售.为满足市场需求,需购进两种商品共1000件,且种商品的数量不少于种商品数量的4倍,请你求出获利最大的进货方案,并确定最大利润.