题目内容

【题目】在正方形ABCD中,点E,F分别在边BC,CD上,且∠EAF=∠CEF=45°.

(1)将△ADF绕着点A顺时针旋转90°,得到△ABG(如图①),求证:△AEG≌△AEF;

(2)若直线EF与AB,AD的延长线分别交于点M,N(如图②),求证:

(3)将正方形改为长与宽不相等的矩形,若其余条件不变(如图③),请你直接写出线段EF,BE,DF之间的数量关系.

【答案】(1)证明见试题解析;(2)证明见试题解析;(3)

【解析】

试题分析:(1)旋转的性质可知AF=AG,EAF=GAE=45°,即可得到AEG≌△AEF;

(2)将ADF绕着点A顺时针旋转90°,得到ABG,连结GM.由(1)知AEG≌△AEF,则有EG=EF.再由BME、DNF、CEF均为等腰直角三角形,得出CE=CF,BE=BM,NF=DF,证明GME=90°,MG=NF,勾股定理得,等量代换即可得到

(3)延长EF交AB延长线于M点,交AD延长线于N点,将ADF绕着点A顺时针旋转90°,得到AGH,连结HM,HE.由(1)知AEH≌△AEF,得到EF=HE,DF=GH,BE=BM,由(2)知HMME,得到从而得到结论

试题解析:(1)∵△ADF绕着点A顺时针旋转90°,得到ABG,AF=AG,FAG=90°,∵∠EAF=45°,∴∠GAE=45°,在AGE与AFE中,AG=AF,GAE=FAE=45°,AE=AE∴△AGE≌△AFE(SAS);

(2)设正方形ABCD的边长为a.将ADF绕着点A顺时针旋转90°,得到ABG,连结GM.则ADF≌△ABG,DF=BG由(1)知AEG≌△AEF,EG=EF∵∠CEF=45°,∴△BME、DNF、CEF均为等腰直角三角形,CE=CF,BE=BM,NF=DF,a﹣BE=a﹣DF,BE=DF,BE=BM=DF=BG,∴∠BMG=45°,∴∠GME=45°+45°=90°,EG=EF,MG=BM=DF=NF,

(3)证明如下:

如图3所示,延长EF交AB延长线于M点,交AD延长线于N点,将ADF绕着点A顺时针旋转90°,得到AGH,连结HM,HE.由(1)知AEH≌△AEF,EF=HE,DF=GH,BE=BM,由(2)知HMME,

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练习册系列答案
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