Question

如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，对角线AC⊥BD，且AC=5cm，BD=12cm．
（1）求梯形中位线的长；
（2）求梯形的面积．

Answer 1

（1）解：过D作DE∥AC，交BA的延长线于E，作DN⊥AB于N，
∵DC∥AB，DE∥CA，
∴四边形DCAE是平行四边形，
∴DE=AC=5cm，DC=AE，
∵AC⊥BD，DE∥AC，
∴BD⊥DE，
即∠EDB=90°，
∵在Rt△EDB中，由勾股定理得：BE===13（cm），
∴梯形ABCD的中位线是：（DC+AB）=BE=×13cm=6.5cm．
答：梯形的中位线是6.5cm．

（2）解：∵在Rt△EDB中，由三角形的面积公式得：DE×BD=BE×DN，
∴5×12=13DN，
∴DN=，
∴梯形ABCD的面积是：×（DC+AB）×DN=×13×=30（cm²），
答：梯形ABCD的面积是30cm²．
分析：（1）过D作DE∥AC，交BA的延长线于E，作DN⊥AB于N，得出平行四边形DCAE，求出DE=AC，DC=AE，推出∠EDB=90°，根据勾股定理求出BE，根据梯形的中位线得出BE，代入求出即可；
（2）根据直角三角形的面积公式得出BE×DN=DE×BD，求出DN，再根据梯形的面积公式求出即可．
点评：本题考查了梯形的性质，三角形的面积，勾股定理，平行四边形的性质和判定的应用，关键是求出高DN和BE的长，题目比较典型，综合性比较强，通过做此题培养了学生的推理能力和计算能力．