Question

如图，两个同心圆的圆心是O，大圆的半径为13，小圆的半径为5，AD是大圆的直径．大圆的弦AB，BE分别与小圆相切于点C，F．AD，BE相交于点G，连接BD．

(1)求BD 的长；
(2)求∠ABE+2∠D的度数；
(3)求的值．

Answer 1

（1）10
（2）180°
（3）

解: (1)连接OC.

∵AB是小圆的切线,C是切点,
∴OC⊥AB,
∴C是AB的中点.   …………………1分
∵AD是大圆的直径,
∴O是AD的中点.
∴OC是△ABD的中位线.
∴BD="2OC=10. " ………………………2分
(2)由(1)知C是AB的中点.
同理F是BE的中点.
由切线长定理得BC=BF.
∴BA="BE.                           " ………………………………3分
∴∠BAE=∠E.
∵∠E=∠D,  ………………………………………………………………4分
∴∠ABE+2∠D=∠ABE+∠E+∠BAE="180º.   " …………………………5分
(3)在Rt△OCB中,
∵OB="13, " OC=5,
∴BC="12.     " ……………………………………………………………6分
由(2)知∠OBG=∠OBC=∠OAC.
∵∠BGO=∠AGB,
∴△BGO∽△AGB.    ……………………………………………………7分
∴.   ……………………………………8分