题目内容
如图，已知△ABC，且S△ABC=1，D、E分别是AB、AC上的动点，BD与CE相交于点P，使SBCDE=
S△BPC，求S△DEP的最大值．
| 16 |
| 9 |
设S△BPC=9k，S△BPE=ak，S△DPC=bk，S△AED=x，
∵SBCDE=
S△BPC，
∴SBCDE=16k，
∵
=
=
=
，
∴S△DEP=
k，
∵S△DEP=S四边形EBCD-S△BPC-S△EBP-S△DPC=16k-9k-ak-bk，
∴
=7-a-b，
∵a+b≥2
，
∴
≤7-2
，
∴ab+18
-63≤0，
∴（
+21）（
-3）≤0，
∵
≥0，
∴0≤
≤3，
∴当a=b=3时，S△DEP最大值为k，
又∵
=
①，x+16k=1②，
由①②得：k=
，
∴S△DEP最大值为
．
∵SBCDE=
| 16 |
| 9 |
∴SBCDE=16k，
∵
| S△BPE |
| S△DPE |
| S△BPC |
| S△DPC |
| 9k |
| bk |
| 9 |
| b |
∴S△DEP=
| ab |
| 9 |
∵S△DEP=S四边形EBCD-S△BPC-S△EBP-S△DPC=16k-9k-ak-bk，
∴
| ab |
| 9 |
∵a+b≥2
| ab |
∴
| ab |
| 9 |
| ab |
∴ab+18
| ab |
∴（
| ab |
| ab |
∵
| ab |
∴0≤
| ab |
∴当a=b=3时，S△DEP最大值为k，
又∵
| x |
| 4k |
| x+4k |
| 12k |
由①②得：k=
| 1 |
| 18 |
∴S△DEP最大值为
| 1 |
| 18 |
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