Question

已知AC⊥BC于C，BC=a，CA=b，AB=c，下列选项中⊙O的半径为

ab

a+b

的是（　　）

A．

B．

C．

D．

Answer 1

A、设圆的半径是x，圆切AC于E，切BC于D，切AB于F，如图（1）同样得到正方形OECD，AE=AF，BD=BF，则a-x+b-x=c，求出x=

a+b-c

2

，故本选项错误；
B、设圆切AB于F，圆的半径是y，连接OF，如图（2），
则△BCA∽△OFA，∴

OF

BC

=

AO

AB

，
∴

y

a

=

b-y

c

，解得：y=

ab

a+c

，故本选项错误；
C、连接OE、OD，
∵AC、BC分别切圆O于E、D，
∴∠OEC=∠ODC=∠C=90°，
∵OE=OD，
∴四边形OECD是正方形，
∴OE=EC=CD=OD，
设圆O的半径是r，
∵OE∥BC，∴∠AOE=∠B，
∵∠AEO=∠ODB，
∴△ODB∽△AEO，
∴

OE

BD

=

AE

OD

，

r

a-r

=

b-r

r

，
解得：r=

ab

a+b

，故本选项正确；
D、O点连接三个切点，从上至下一次为：OD，OE，OF；并设圆的半径为x；
容易知道BD=BF，所以AD=BD-BA=BF-BA=a+x-c；
又∵b-x=AE=AD=a+x-c；所以x=

b+c-a

2

，故本选项错误．
故选C．