题目内容

【题目】已知BD是△ABC的角平分线,点E在边AB上,BC=BE,过点EEFAC,交BD于点F,连接CF.

(1)如图1,求证:四边形CDEF是菱形;

(2)如图2,当四边形CDEF是正方形,且AC=BC时,在不添加辅助线的情况下,请直接写出图中度数等于30°的角.

【答案】(1)见解析;(2)见解析

【解析】

1)直接由SAS得出△BDE≌△BDC得出DE=DCBDE=BDC.再由SAS证明△BFE≌△BFC得出EF=CF.由EFAC得出∠EFD=BDC从而∠EFD=BDE根据等角对等边得出DE=EF从而DE=EF=CF=DC由菱形的判定可知四边形CDEF是菱形

2)如图2利用正方形的性质可得∠DFE=45°,然后证明∠FEB=CBE=2FBE即可

在△BDE和△BDC中,∵∴△BDE≌△BDCDE=DCBDE=BDC

同理△BFE≌△BFCEF=CF

EFAC∴∠EFD=BDC∴∠EFD=BDEDE=EFDE=EF=CF=DC∴四边形CDEF是菱形

2∵四边形CDEF是正方形∴∠CDE=DEF=2EFD=90°.

AC=BC∴∠A=CBE

∵∠A+∠AED=180°﹣90°=90°,AED+∠FEB=90°,∴∠A=FEB=CBE=2EBF

∵∠EBF+∠FEB=DFE=45°,∴∠EBF=15°,∴∠FEB=30°,∴∠A=ABC=FEB=30°.

∵△BFE≌△BFC∴∠FEB=FCB=30°,图中度数等于30°的角是∠AABCFEBFCB

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