题目内容

【题目】如图,抛物线y=+bx+c与x轴交于A(﹣1,0),B(3,0)两点,与y轴交于C(0,﹣3).

(1)求抛物线的解析式;

(2)D是y轴正半轴上的点,OD=3,在线段BD上任取一点E(不与B,D重合),经过A,B,E三点的圆交直线BC于点F,

试说明EF是圆的直径;

判断AEF的形状,并说明理由.

【答案】(1) y=﹣2x﹣3;(2)证明详见解析;②△AEF是等腰直角三角形,理由详见解析.

【解析】

试题分析:(1)将A、B、C三点坐标代入抛物线方程,即可求得a、b、c的值;

(2)由B、C、D三点的坐标即可得出CBO=OBD=45°,从而得出EBF=90°,即可得出EF为圆的直径;

利用同圆内,同弧所对的圆周角相等,可以找到AEF=AFE=45°,从而得出AEF是等腰直角三角形.

试题解析:(1)抛物线y=+bx+c与x轴交于A(﹣1,0),B(3,0)两点,与y轴交于C(0,﹣3),

,解得

抛物线的解析式为y=﹣2x﹣3

(2)按照题意画出图形,如下图,

B点坐标(3,0)、C点坐标(0,﹣3),

OB=OC=3,

∴△BOC为等腰直角三角形,

∴∠CBO=45°,

D是y轴正半轴上的点,OD=3,

∴△BOD为等腰直接三角形,

∴∠OBD=45°,

CBD=CBO+OBD=45°+45°=90°,

FBE=90°,

EF是圆的直径.

∵∠CBO=OBD=45°,AFE=OBD,AEF=CBO(在同圆中,同弧所对的圆周角相等),

∴∠AEF=AFE=45°,

∴∠FAE=90°,AE=AF,

∴△AEF是等腰直角三角形.

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