Question

【题目】如图，正方形ABCD的边长是3，P，Q分别在AB，BC的延长线上，BP=CQ，连接AQ，DP交于点O，并分别与CD，BC交于点F，E，连接AE．下列结论：

①AQ⊥DP

②OA2=OEOP

③S△AOD=S四边形OECF

④当BP=1时，tan∠OAE=

其中正确结论的序号是　　　　．

Answer 1

【答案】①③④．

【解析】

由四边形ABCD是正方形，得到AD＝BC，∠DAB＝∠ABC＝90°，根据全等三角形的性质得到∠P＝∠Q，根据余角的性质得到AQ⊥DP；故①正确；根据相似三角形的性质得到AO2＝ODOP，由OD≠OE，得到OA2≠OEOP；故②错误；根据全等三角形的性质得到CF＝BE，DF＝CE，于是得到S△ADF－S△DFO＝S△DCE－S△DOF，即S△AOD＝S四边形OECF；故③正确；根据相似三角形的性质得到BE＝，求得QE＝，QO＝，OE＝，由三角函数的定义即可得到结论．

解：∵四边形ABCD是正方形，

∴AD＝BC，∠DAB＝∠ABC＝90°，

∵BP＝CQ，

∴AP＝BQ，

在△DAP与△ABQ中，

，

∴△DAP≌△ABQ（SAS），

∴∠P＝∠Q，

∵∠Q＋∠QAB＝90°，

∴∠P＋∠QAB＝90°，

∴∠AOP＝90°，

∴AQ⊥DP；

故①正确；

∵∠DOA＝∠AOP＝90°，∠ADO＋∠P＝∠ADO＋∠DAO＝90°，

∴∠DAO＝∠P，

∴△DAO∽△APO，

∴，

∴AO2＝ODOP，

∵AE＞AB，

∴AE＞AD，

∴OD≠OE，

∴OA2≠OEOP；故②错误；

在△CQF与△BPE中

，

∴△CQF≌△BPE（AAS），

∴CF＝BE，

∴DF＝CE，

在△ADF与△DCE中，

，

∴△ADF≌△DCE（SAS），

∴S△ADF－S△DFO＝S△DCE－S△DOF，

即S△AOD＝S四边形OECF；故③正确；

∵BP＝1，AB＝3，

∴AP＝4，

∵△PBE∽△PAD，

∴，

∴BE＝，

∴QE＝，

∵△QOE∽△PAD，

∴，

∴QO＝，OE＝，

∴AO＝5－QO＝，

∴tan∠OAE＝，故④正确，

故答案为：①③④．