题目内容
【题目】如图1，在平面直角坐标系中，等边△ABC的边BC在x轴上，A（0，3），B（
，0），点M（
，0）为x轴上的一个动点，连接AM，将AM绕点A逆时针旋转60°得到AN．
(1)当M点在B点的左方时，连接CN，求证：△BAM≌△CAN；
(2)如图2，当M点在边BC上时，过点N作ND//AC交x轴于点D，连接MN，若
，试求D点的坐标；
(3)如图3，是否存在点M，使得点N恰好在抛物线
上，如果存在，请求出m的值，如果不存在，请说明理由．
【答案】(1)见解析；(2)D(
，0)；(3)存在，
或
【解析】
（1）根据等边三角形的性质、旋转的性质、角的和差可得
、
、
，再根据全等三角形的判定即可得证结论；
（2）过
作
轴于点
，过
作
交
延长线于点
，可得出
是等边三角形，再结合已知条件根据等边三角形的性质、含
角的直角三角形的性质等可列出关于
的方程，解得
即可求得答案；
（3）由（2）可知点的坐标为
，将点的坐标代入抛物线解析式解方程即可得解．
解：（1）证明：∵
是等边三角形
∴
，
∵将
绕点
逆时针旋转
得到
∴
，
∴
∴
∴在
和
中
∴
．
（2）过作轴于点，过作交延长线于点，如图：
∵由（1）可知
∴
∵
∴
∵
∴
∴是等边三角形
∴
∵是等边三角形，
，
，
∴
，
，
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∴
．
（3）由（2）可知点的坐标为
∵若点恰好在抛物线
上
∴
∴或
∴存在点
，使得点恰好在抛物线上，此时或．
【题目】某水果店在两周内，将标价为10元/斤的某种水果，经过两次降价后的价格为8.1元/斤，并且两次降价的百分率相同．
（1）求该种水果每次降价的百分率；
（2）从第一次降价的第1天算起，第x天（x为整数）的售价、销量及储存和损耗费用的相关信息如表所示．已知该种水果的进价为4.1元/斤，设销售该水果第x（天）的利润为y（元），求y与x（1≤x＜15）之间的函数关系式，并求出第几天时销售利润最大？
时间x（天） | 1≤x＜9 | 9≤x＜15 | x≥15 |
售价（元/斤） | 第1次降价后的价格 | 第2次降价后的价格 | |
销量（斤） | 80﹣3x | 120﹣x | |
储存和损耗费用（元） | 40+3x | 3x2﹣64x+400 | |
（3）在（2）的条件下，若要使第15天的利润比（2）中最大利润最多少127.5元，则第15天在第14天的价格基础上最多可降多少元？
