Question

【题目】已知抛物线y=x2+bx+c的顶点为P，与y轴交于点A，与直线OP交于点B．
（1）如图1，若点P的横坐标为1，点B的坐标为（3，6），试确定抛物线的解析式；

（2）在（1）的条件下，若点M是直线AB下方抛物线上的一点，且S△ABM=3，求点M的坐标；
（3）如图2，若点P在第一象限，且PA=PO，过点P作PD⊥x轴于点D．将抛物线y=x2+bx+c平移，平移后的抛物线经过点A、D，该抛物线与x轴的另一个交点为C，请探究四边形OABC的形状，并说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：依题意， ，

解得b=﹣2．

将b=﹣2及点B（3，6）的坐标代入抛物线解析式y=x2+bx+c得6=32﹣2×3+c．

解得 c=3．

所以抛物线的解析式为y=x2﹣2x+3．

（2）

解：∵抛物线y=x2﹣2x+3与y轴交于点A，

∴A（0，3）．

∵B（3，6），

可得直线AB的解析式为y=x+3．

设直线AB下方抛物线上的点M坐标为（x，x2﹣2x+3），过M点作y轴的平行线交直线AB于点N，则N（x，x+3）．（如图1）

∴ ．

∴ ．

解得 x1=1，x2=2．

故点M的坐标为（1，2）或 （2，3）．

（3）

解：如图2，由 PA=PO，OA=c，可得 ．

∵抛物线y=x2+bx+c的顶点坐标为 ，

∴ ．

∴b2=2c．

∴抛物线 ，A（0， ），P（ ， ），D（ ，0）．

可得直线OP的解析式为 ．

∵点B是抛物线 与直线 的图象的交点，

令 ．

解得 ．

可得点B的坐标为（﹣b， ）．

由平移后的抛物线经过点A，可设平移后的抛物线解析式为 ．

将点D（ ，0）的坐标代入 ，得 ．

则平移后的抛物线解析式为 ．

令y=0，即 ．

解得 ．

依题意，点C的坐标为（﹣b，0）．

则BC= ．

则BC=OA．

又∵BC∥OA，

∴四边形OABC是平行四边形．

∵∠AOC=90°，

∴四边形OABC是矩形．

【解析】（1）首先求出b的值，然后把b=﹣2及点B（3，6）的坐标代入抛物线解析式y=x2+bx+c求出c的值，抛物线的解析式即可求出；（2）首先求出A点的坐标，进而求出直线AB的解析式，设直线AB下方抛物线上的点M坐标为（x，x2﹣2x+3），过M点作y轴的平行线交直线AB于点N，则N（x，x+3），根据三角形面积为3，求出x的值，M点的坐标即可求出；（3）由PA=PO，OA=c，可得 ，又知抛物线y=x2+bx+c的顶点坐标为 ，即可求出b和c的关系，进而得到A（0， ），P（ ， ），D（ ，0），根据B点是直线与抛物线的交点，求出B点的坐标，由平移后的抛物线经过点A，可设平移后的抛物线解析式为 ，再求出b与m之间的关系，再求出C点的坐标，根据两对边平行且相等的四边形是平行四边形，结合∠AOC=90°即可证明四边形OABC是矩形．
【考点精析】掌握二次函数的图象和二次函数的性质是解答本题的根本，需要知道二次函数图像关键点：1、开口方向2、对称轴 3、顶点 4、与x轴交点 5、与y轴交点；增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小．