Question

【题目】如图，已知抛物线y=（x+2）（x﹣4）与x轴交于点A、B（点A位于点B的左侧），与y轴交于点C，CD∥x轴交抛物线于点D，M为抛物线的顶点．

（1）求点A、B、C的坐标；
（2）设动点N（﹣2，n），求使MN+BN的值最小时n的值；
（3）P是抛物线上一点，请你探究：是否存在点P，使以P、A、B为顶点的三角形与△ABD相似（△PAB与△ABD不重合）？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：令y=0得x1=﹣2，x2=4，

∴点A（﹣2，0）、B（4，0）

令x=0得y=﹣，

∴点C（0，﹣）

（2）

解：将x=1代入抛物线的解析式得y=﹣

∴点M的坐标为（1，﹣）

∴点M关于直线x=﹣2的对称点M′的坐标为（﹣5，）

设直线M′B的解析式为y=kx+b

将点M′、B的坐标代入得：

解得：

所以直线M′B的解析式为y=．

将x=﹣2代入得：y=﹣，

所以n=﹣;

（3）

解：过点D作DE⊥BA，垂足为E．

由勾股定理得：

AD=，

BD=，

如下图，①当P1AB∽△ADB时，

即：

∴P1B=6

过点P1作P1M1⊥AB，垂足为M1．

∴即：

解得：P1M1=6，

∵即：

解得：BM1=12

∴点P1的坐标为（﹣8，6）

∵点P1不在抛物线上，所以此种情况不存在；

②当△P2AB∽△BDA时，即：

∴P2B=6

过点P2作P2M2⊥AB，垂足为M2．

∴，即：

∴P2M2=2

∵，即：

∴M2B=8

∴点P2的坐标为（﹣4，2）

将x=﹣4代入抛物线的解析式得：y=2，

∴点P2在抛物线上．

由抛物线的对称性可知：点P2与点P4关于直线x=1对称，

∴P4的坐标为（6，2），

当点P3位于点C处时，两三角形全等，所以点P3的坐标为（0，﹣），

综上所述，点P的坐标为：（﹣4，2）或（6，2）或（0，﹣）时，以P、A、B为顶点的三角形与△ABD相似．

【解析】（1）令y=0可求得点A、点B的横坐标，令x=0可求得点C的纵坐标；
（2）根据两点之间线段最短作M点关于直线x=﹣2的对称点M′，当N（﹣2，N）在直线M′B上时，MN+BN的值最小；
（3）需要分类讨论：△PAB∽△ABD、△PAB∽△ABD，根据相似三角形的性质求得PB的长度，然后可求得点P的坐标．
【考点精析】掌握轴对称-最短路线问题和相似三角形的性质是解答本题的根本，需要知道已知起点结点，求最短路径；与确定起点相反，已知终点结点，求最短路径；已知起点和终点，求两结点之间的最短路径；求图中所有最短路径；对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形．